8.Какие правила следует соблюдать при вычерчивании тела давления?

9.Сформулируйте закон Архимеда и напишите условия плавания тел.

10.Что такое плавучесть и остойчивость судна?

11. Дайте определения понятиям: метацентр, метацентрическая высота, метацентрический радиус, водоизмещение.

12. Изложите условия статической остойчивости судна.

Глава 3 КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Тема 3.1 Кинематика и динамика идеальной жидкости

Виды движения жидкости. Основные понятия кинематики жидкости: линия тока, элементарная струйка и ее свойства, живое сечение, расход объемный и массовый. Поток жидкости. Средняя скорость. Уравнение постоянство расхода. Дифференциальные уравнения движения Эйлера. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Геометрическое и энергетическое толкование уравнения Бернулли. Гидравлическое сопротивление.

Тема 3.2. Вихревое движение жидкости.

Вихревая линия, вихревая трубка, их свойства. Угловая скорость вращения частицы жидкости. Теорема Гельмгольца о вихревом движении. Уравнение безвихревого (потенциального) движения жидкости.

Указания к темам 3.1. и 3.2.

Способы описания движения

Движущаяся жидкость представляет сплошную среду совокупности частиц, которые перемещаются с различными параметрами, изменяющимися в зависимости от координат и времени.

Частица сплошной среды — это весьма малый элемент объема среды (элементарный объем), который можно считать точечным. В кинематике жидкости возможны два способа описания движения — Лагранжа и Эйлера.

31

По способу Лагранжа движение жидкости задается путем указания зависимости координат определенной (намеченной) частицы жидкости от времени. Движущаяся частица жидкости описывает в пространстве траекторию, вдоль которой изменяется скорость.

На рис. 3.1, а показана траектория движения частицы А в неподвижной системе координат, где за определенное время координаты частицы изменялись с х0, z0 на xlt z1 за время t1 ; х2, z2 за время tz и т. д. Таким образом, при описании движения переменными являются скорость, ускорение и координаты частицы. Практически для большинства инженерных задач нет необходимости в знании параметров движения отдельных частиц, поэтому способ Лагранжа применяется только в особых случаях: например, Для описания переноса жидкостью мельчайших твердых частиц (ила).

Способ Эйлера заключается в том, что движение определяется полем скоростей жидкости в пространстве в каждый момент времени, т. е. описывается движение различных частиц, проходящих через намеченные точки пространства, заполненного жидкостью. При этом переменными являются скорости частиц, а координаты точки пространства, через которые проходят частицы, остаются постоянными (известными). На рис. 3.1, б показаны зафиксированные точки 1, 2, 3 в пространстве, через которые в разное время t1 , t2 проходят частицы co скоростями u1(t1), u2(t1), u3(t1), u1(t2),u2(t2),u3(t2).

Последнее обстоятельство значительно облегчает проведение теоретических и экспериментальных исследований, так как координаты зафиксированных точек в пространстве известны и постоянны.

При решении большинства инженерных задач необходимо знать, с какими скоростями различные частицы жидкости проходят через определенные элементы конструкций или инженерных сооружений или подходят к ним. Поэтому способ описания движения Эйлера принят основным.

По Эйлеру задано поле скоростей жидкости в пространстве в каждый момент времени в проекциях скорости и на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат:

Проекции ускорений элементарных объемов среды в этой системе координат по правилу дифференцирования сложной функции будут:

32

момент времени t, и подставляя их в уравнения проекций ускорений, получим: Рассмотрим кинематический смысл каждого слагаемого в правой части систе-

мы уравнений (3,2).

Последние слагаемые du/dt представляют проекции локального ускорения, которое обусловливается изменением поля скоростей со временем при фиксированных координатах, т. е. местным локальным изменением.

Первые три слагаемые в правой части (3.2) дают проекции конвективного ускорения, которое образуется за счет изменения координат частицы, соответствующих ее передвижению (конвекции).

Конвективное ускорение возможно только при движении жидкости и га-

зов.

ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ

3.3 Установившееся и неустановившееся движение

По признаку зависимости движения жидкости от времени оно может быть неустановившимся или установившимся. Неустановившееся (нестационарное) движение - это движение, при котором поле скоростей изменяется во времени; в этом случае скорость частиц жидкости, проходящих через определенную точку пространства, изменяется во времени (рис. 3.1, б):

При этом частные производные см. уравнения(3.2) не равны нулю. Пример неустановившегося движения — истечение жидкости из резервуара при переменном ее уровне (опоражнивание резервуара).

Установившимся (стационарным) движение будет в том случае, если поле скоростей не зависит от времени, т. е. Скорости частиц, проходящих через определенные точки пространства, постоянны во времени: При этом частные производные по времени (см. уравнение (5.2).

33

Примером установившегося движения является истечение жидкости из резервуара при постоянном ее уровне — приток равен расходу.

Установившееся движение является основным видом при гидравлических расчетах, поэтому в данном курсе будут изучаться закономерности изменения параметров при этом движении жидкости.

Поступательное движение. Линии тока и элементарные струйки

В общем случае движение элементарного объема жидкости является суммой поступательного, вращательного и деформационного движений. Последнее обусловлено изменением формы объема жидкости. Учет всех этих факторов практически невозможен. Поэтому в гидравлике рассматривают в основном два вида движения — поступательное и вращательное (вихревое). В поступательном движении, основываясь на принятом способе описания Эйлера, введем следующие понятия: линия и трубка тока, элементарная струйка. Линия тока — линия в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости жидкости совпадает с касательной (рис. 3.2, а к этой линии. В

установившемся движении линия тока является траекторией частицы жидкости. Трубка тока — поверхность, образованная линиями тока, проведенными в данный момент времени через все точки бесконечно малого замкнутого контура, нормального к линиям тока и находящегося в области, занятой жидкостью (рис. 3.2, б).Элементарная струйка — часть движущейся жидкости, ограниченная трубкой тока (рис. 3.2, б).Элементарная струйка обладает рядом важных свойств, которые будут использованы при дальнейших выводах: частицы жидкости не выходят из струйки и не входят в нее через боковую поверхность; это объясняется тем, что боковая поверхность струйки образована линиями тока, а следовательно, в любой точке векторы скоростей направлены по касательным; скорости частиц во всех точках одного и того же поперечного сечения струйки одинаковы, что объясняется малостью поперечного сечения;

34

при установившемся движении форма струйки остается неизменной во вре-

мени.

Равномерное и неравномерное движение

В зависимости от характера изменения скорости по длине пространства, заполненного жидкостью, установившееся движение может быть: равномерным, при котором скорость по длине остается постоянной (рис. 3.3, а); неравномерным, если скорость по длине изменяется по величине и (или) направлению (рис. 3.3, б, в); плавно изменяющимся, если скорость по длине хотя и изменяется, но это изменение происходит плавно (рис. 3.3, г, д). С достаточной для практики точностью в последнем случае можно применять законы равномерного движения.

Вихревое движение

Движению жидкости часто сопутствует вихревое движение, вызванное вращением элементарного объема. Угловая скорость вращения со элементарного объема жидкости называется вихрем, а линия, касательная во всех точках к векторам вихря вихревой линией (рис. 3.4, а).

Поверхность, образованная вихревыми линиями, проведенными через все точки элементарного замкнутого контура, называют вихревой трубкой, а жидкость, заключенную внутри вихревой трубки, — вихревой нитью — шнуром (рис. 3.4, б).

35

Расчетным вихрем является вектор угловой скорости вращения частиц относительно мгновенной оси. Физический вихрь — группа частиц, вращающихся как твердое тело вокруг некоторой мгновенной оси. Мгновенная ось вращения может быть неподвижной или перемещающейся в пространстве. Перемещающиеся вихри наблюдаются сзади какого-либо тела, движущегося в жидкости, в виде колец дыма и пара, выходящих из труб. В природе они часто встречаются в виде смерчей. Изучение перемещающихся вихрей имеет большое значение при конструировании и исследовании лопастных машин, самолетов и при транспортировании жидкостью твердых тел. В гидромеханике широко применяется понятие циркуляции скорости

— кинематической характеристики течения жидкости или газа, служащей мерой завихренности.

Циркуляцией скорости Г вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл

контура (рис. 3.5). Размерность, единица в системе СИ-м2/с. Если принять за контур окружность радиуса г, а скорость постоянной по окружности, то. На поверхности вихревой трубки и{ = ω*r. Тогда

где F =πr2 — поперечное сечение вихревой трубки.

Циркуляция вдоль произвольного замкнутого контура, проведенного на поверхности вихревой трубки и охватывающего трубку один раз, называется интенсивностью вихря (вихревой трубки). Интенсивность вихря постоянна вдоль всей вихревой трубки. Можно сформулировать весьма важную теорему Гельмгольца: вихревые нити в жидкости не могут оканчиваться внезапно, они или простираются концами в бесконечность, или замыкаются в кольца, или опираются на границы жидкости, например на твердые тела.

Циркуляция скорости, если пренебречь рассеиванием энергии, при уда-

лении от вихря остается неизменной Следовательно, скорость по

замкнутому контуру радиуса R (рис. 3.5), обусловленная вихрем, определится по зависимости.

36

Виды потоков

Поток можно представить как совокупность элементарных струек. Такое представление о потоке является струйной моделью потока.

Потоки можно разделить на напорные, безнапорные и струи.

Напорным называется поток, ограниченный со всех сторон твердыми стенками (рис. 3.6, а). Примером такого потока является движущаяся вода в водопроводе или шахтном водоотливном трубопроводе, масло в маслопроводе, движущийся воздух в выработках шахты и т. д.

Безнапорным называется поток, ограниченный твердыми стенками не со всех сторон и имеющий по всей длине свободную поверхность (рис.3,6.б). Примером такого потока является вода в реке, водоотливной канавке шахты и т. д.

Струей называется поток жидкости, ограниченный поверхностями разрыва скоростей (ABCD на рис. 3,6, в), т. е. поверхностью в движущейся жидкости, при переходе через которую касательные к этой поверхности векторы скорости скачкообразно изменяют свою величину. Примером такого потока может служить струя воды из пожарного брандспойта или гидромонитора.

3.3.2. Живое сечение. Расход. Средняя скорость Живое сечение ω— поверхность АВ в пределах потока (рис. 3.7, а), нор-

мальная в каждой своей точке к проходящей через нее линии тока. При равномерном или плавно изменяющемся движении живое сечение является плоским.

Размерность единица в системе СИ — м2.

37

В выражении (3.8) расход определяет объем жидкости, проходящей в единицу времени через данное живое сечение, поэтому он называется объемным расходом.

Если перемещается жидкость переменной плотности, то удобнее определять массовый расход Qm, который выражает массу жидкости, проходящей в единицу времени через данное живое сечение

Размерность единица в системе СИ — кг/с.

Аналитически интегралы (3.8) и (3.9) могут быть решены только в том слу-

чае, если известны или например при ламинарном движе-

нии [см. (5.17)].

В других случаях этот интеграл может быть решен графически па основе экспериментальных данных. Для этого живое сечение потока разбивают на равно-

великие площади (рис. 3.8), определяют скорость и в каждой площади Лео и расход:

Объемный расход через живое сечение будет равен сумме расходов через намеченные площади

или в общем случае

Объемный расход является одним из основных параметров потока и определяет количество жидкости (газа), транспортируемой в единицу времени по трубопроводу или потребляемой различными установками. Поэтому в инженерных расчетах значение расхода обычно является заданным. В большинстве случаев неизвестно изменение скорости по живому сечению, вследствие чего введено понятие средней

скорости, которая определяется как частное от деления объемного расхода на живое сечение потока,

39

Размерность v : единица в системе СИ — м/с. Объемный расход может быть определен через среднюю скорость

Соответственно массовый расход

Если известна эпюра скоростей в пределах живого сечения, то средняя скорость

Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности (сплошности) является математическим выражением закона сохранения массы в гидромеханике.

В движущейся жидкости выделим параллелепипед объема dV (рис. 3.11) с бесконечно малыми ребрами dx, dy, dz.

За время dt в него входит масса и выходит Приращение массы в направлении оси ох (рис. 3.9)

По аналогии для других осей:

Приращение массы в параллелепипеде

(3.15)

Изменение массы в объеме do за время dt может быть только за счет изменения плотности, следовательно,

40