3.2 Векторное поле

Если каждой точке Мобласти пространства соответствует некоторый вектор, то говорят, что задано векторное поле.

Векторным полемназывается область пространства или плоскости, каждой точке которойМ(x,y,z)поставлен в соответствие вектор:

, где P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z)– некоторые функции.

Если поле задано на плоскости, то

Примерами векторных полей являются: поле силы тяжести; поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра); магнитное поле; поле напряженностей заряженных объектов и т.д.

Векторное поле называется однородным,если- постоянный вектор, т.е.P,Q,R– постоянные величины.

Таким полем является поле тяжести. Здесь . P=0, Q=0, R=-mg, g- ускорение силы тяжести,m– масса точки.

Векторной линиейполя вектораназывается такая линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к этой линии.

Для определения уравнения векторных линий поля следует решить систему дифференциальных уравнений.

Для плоского поля

Пример: векторное поле задано вектором . Найти векторные линии, изобразить их и на одной из них построить три вектора.

Решение: составляем дифференциальное уравнение . Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его и находим уравнения векторных линий.

Дадим константе Снесколько различных числовых значений :

С=3 - эллипс (,b=3);

С=5 - эллипс (,b=5).

На линии построим три вектора (рис. 28)

Рис. 28

В силовых полях векторные линии - это силовые линии, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока), для магнитного поля векторными линиями будут линии, выходящие из северного полюса, и оканчивающееся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называются векторной трубкой.

Поток поля. Дивергенция.

Пусть векторное поле образовано вектором .

Д

Рис. 29

ля наглядности будем считать- вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхностьS находиться в этом потоке и пропускает жидкость. Требуется вычислить, какое количество жидкости протекает через поверхностьS(рис. 29).

единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S.

Потоком векторачерез поверхностьSназывается интеграл П=- (этот интеграл ещё называют поверхностным интеграломII-го рода,- скалярное произведение)

Поток Пвектораесть скалярная величина, равная объему жидкости, которая протекает через поверхностьSза единицу времени. В общем случае, поток поля векторапропорционален числу векторных линий, пронизывающих поверхность.

Т.О. если мы рассматриваем графическое изображение векторного поля, то можно судить о величине потока через одинаковые площадки по густоте векторных линий – там, где линии расположены ближе друг к другу, там больше и величина потока.

О

Рис. 30

собый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объёмV (рис. 30). Тогда поток вектора записывается в видеП=. Если векторное поле- поле скоростей текущей жидкости, то величина потокаП через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из областиVи втекающей в неё за единицу времени.

Если П>0, то из областиVвытекает больше жидкости, чем в неё втекает. Это значит, что внутри области имеются дополнительные источники. ЕслиП<0, то внутри областиVимеются стоки, поглощающие жидкость.

Можно сказать, что источники – точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки – точки, где векторные линии кончаются. Так в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком отрицательный заряд магнита (рис. 31).

Е

Рис. 31

слиП=0, то из областиVвытекает столько же жидкости, сколько в неё втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.

Дивергенция - численная характеристика плотности источника или стока поля в данной точке.

- предел отношения потока поля через некоторую замкнутую поверхность к объёму, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность S (рис. 30) стягивается в точкуМ, называетсядивергенцией поля в точкеМ.

Если то в точкеМиметься источник поля плотности

Если то в точкеМсток плотности

Если то в точкеМнет источников и нет стоков.

Дивергенция характеризирует мощность (интенсивность) источника или стока.

Формула для вычисления дивергенции:

Пример: вычислить дивергенцию вектора в т. М(1;2;3)

+3+

> 0 - в точке находится источник.

Теорема: если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), и R(x,y,z)- непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области, имеющей объемV, то имеет место формула Остроградского-Гаусса.

П=

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S(в направлении внешней нормаль, т.е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объемуV, ограниченному данной поверхностью.

Циркуляция поля. Ротор поля.

Пусть векторное поле образовано вектором.

Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую Lи выберем на ней определенное направление (рис. 32).

Циркуляцией вектора вдоль кривой, называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру от вектор - функции.

Ц

Рис. 32

=

Другое обозначение Ц=(,- скалярное произведение)

Физический смысл циркуляции: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силыполя при перемещении материальной точки вдоль контураL.

Циркуляция поля по данному контуру характеризует вращательную способность поля на данном контуре.

При этом важно заметить, что циркуляция данного поля зависит не только от формы контура, но и от его ориентации в пространстве.

П

Рис. 33

ример:

Найти циркуляцию поля по контуру окружности, расположенной в плоскости Оху (рис. 33).

(знак минус указывает на то, что контур в данном поле будет вращаться в направлении, противоположном принятому за положительное.)

Если этот же контур поместить в поле этого вектора, но в плоскости параллельной плоскости Оxz, то векторв любой точке плоскости будет иметь одно и тоже значение, циркуляция будет равна нулю.

Ротором (или вихрем) векторного поляназывается вектор, определяемый формулой

В символическом виде

Направление ротора - это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение по сравнению с циркуляцией вокруг любого другого направления.

Связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению.

Пример: найти поле линейной скорости материальной точкиМ, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростьювокруг осиOz.

Решение: угловую скорость представим в виде вектора лежащего на осиОz, направленной вверх.

Имеем =(o,o,ω)=ω

Построим радиус вектор точкиМ.

Численное значение линейной скорости (из курса физики),где- расстояние вращающейся точки М от оси вращения. Но=, следовательно, т.е.

.

поле линейных скоростей тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, есть плоское поле.

Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения.