- •Высшая математика
- •Тема 1. Кратные интегралы.
- •1.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •1.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •1.4 Приложения двойного интеграла
- •1.5 Тройной интеграл
- •1.6 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •1.7 Замена переменных в тройном интеграле.
- •1.8 Геометрические и физические приложения тройных интегралов
- •2. Криволинейные интегралы
- •2.1 Криволинейные интегралы второго рода. Основные понятия
- •2.2Вычисление криволинейных интегралов второго рода
- •2.3 Формула Остроградского – Грина.
- •2.4 Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
- •2.5 Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
- •3. Элементы теории поля
- •3.1 Скалярное поле
- •3.2 Векторное поле
- •3.3 Специальные виды векторных полей
- •3.4 Оператор Гамильтона. Векторные дифференциальные операции
- •4. Числовые и степенные ряды
- •4.1 Числовые ряды. Основные понятия.
- •4.2 Признаки сходимости числовых рядов
- •4.3 Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- •4.4 Степенные ряды
- •4.5 Ряды Тейлора и Маклорена
- •4.6 Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •4.7 Некоторые приложения степенных рядов
- •5. Ряды фурье
- •5.1 Периодические функции и процессы
- •5.2 Тригонометрический ряд Фурье
- •5.3 Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •5.4 Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •5.5 Представление непериодической функции рядом Фурье
- •6. Элементы операционного исчисления
- •6.1 Оригиналы и их изображение
- •6.2 Свойства преобразований Лапласа
- •6.3 Отыскание оригиналов по изображениям
- •6.4 Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем
- •98309 Г. Керчь, Орджоникидзе, 82
1.6 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Пусть в замкнутой областиV пространства Oxyz задана непрерывная функция u=f(x,y,z). Под областью V (рис. 13) понимается замкнутая пространственная область, ограниченная снизу и сверху поверхностями, определенными соответственно уравнениями и (), а с боков цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Оz. В частном случае может оказаться, что образующие цилиндрической поверхности равны нулю (рис. 14).
Рис.
13
Переменные x и y изменяются в плоской области D, которая является проекцией на плоскость xOy пространственной области V.
Т
Рис.
14
В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Если плоская область D ограничена линиями и () и прямыми х=а и х=b (рис. 15), то тройной интеграл вычисляется по формуле
(1.6.1)
П
Рис.
15
Замечание:
1) порядок интегрирования в формуле (1.6.1) может быть изменен;
2) пределы интегрирования во внешнем интеграле всегда величины постоянные.
Пример.
Вычислить интеграл , областьV ограничена линиями .
Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 16) и расставим пределы интегрирования.
Вычисление начнем с внутреннего интеграла
Рис.
16
1.7 Замена переменных в тройном интеграле.
Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответствующей операции для двойного интеграла.
Пусть совершена подстановка . Если эти функции имеют в некоторой областиV* пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель , то справедлива
формула замены переменных в тройном интеграле:
Здесь - определитель Якоби, или якобиан преобразования.
Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе.
Рассмотрим эти преобразования подробнее.
Цилиндрическая система координат.
z
М
z
0
φ x
r
Рис.
17
Положение точки М(x;y;z) в пространстве Оxyz можно определить заданием трех чисел r, φ, z, где r - длина радиус вектора проекции точки М на плоскость Оxy, φ - угол, образованный этим радиус-вектором с осью Оx, - аппликата точки М. Эти три числа (r; φ; z) называются цилиндрическими координатами точки М (рис. 17).
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:
Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем якобиан:
Формула перехода тройного интеграла из декартовых координат к цилиндрическим принимает вид
, где
К цилиндрическим координатам бывает удобно прейти, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью, проекция цилиндрического тела на плоскость Oху является окружность, а также если подынтегральная функция имеет вид .
Пример: Вычислить , где область V ограничена верхней частью конуса и плоскостью.
Рис.
18
Рис.
19
Решение: Сделаем схематический чертеж области (рис. 18). Вычислим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: . Уравнение конуса примет вид, т.е.
Уравнение окружности (границы областиD (рис. 19)) запишется так: . Новые переменные изменяются в следующих пределах:r – от 0 до 1, φ – от 0 до 2π, а z – от r до 1 (прямая параллельная оси Оz , пересекающая область D, входит в конус и выходит из него на высотеz=1).
Таким образом, получаем
Сферическая система координат.
Сферическими координатами точки М(x;y;z) в пространстве Оxyz называется тройка чисел ρ, φ, θ, где ρ - длина радиус-вектора проекции точки М, φ - угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскостьОxy и осью Ох, θ – угол отклонения радиуса- вектора от осиОz (рис. 20).
z
М
θ
0 φ x
Рис.
20
y
Связь координат произвольной точки М пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:
()
В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам.
Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем якобиан:
Окончательно получаем:
, где
, ,,.
Замечание: переходить к сферическим координатам удобно, когда область интегрирования V есть шар (уравнение его границы в сферических координатах имеет вид) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид.
Пример: найти объем шара (рис. 21)
Решение: найдем 1/8 объема (часть шара, расположенную в первом октанте). Переходим в сферическую систему координат. Уравнение шара в сферической системе координат – ρ=R.
Вычисляем три интеграла:
, ,.
. Окончательно, объем шара куб.ед.