1.4 Приложения двойного интеграла

Объём тела

Объём цилиндрического тела находится по формуле

,

где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если в вышеуказанной формуле положить , то цилиндрическое тело превратится в прямой цилиндр с высотойh=1. Объём такого цилиндра численно равен площадиS основанияD. Получаем формулу для вычисления площади областиD

В полярных координатах

Масса плоской пластины(физ. смысл двойного интеграла).

Если плоская пластина Dимеет плотность, определённую функцией, то масса пластины находится по формуле

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры.

Пусть на плоскости Oxyзадана система материальных точексоответственно с массами_.

Определение. Статическим моментом S_xсистемы материальных точек относительно осиOxназывается сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т.е. на расстояние этих точек от осиOx).

Аналогично определяется статический момент S_yэтой системы относительно осиOy

Статические моменты плоской фигуры D с переменной плотностьюотносительно осейOx иOyмогут быть вычислены по формулам

,

а координаты центра масс по формулам

- плотность.

Если пластина Dоднородная, то в формуле, т.е.

Момент инерции плоской фигуры

Определение. Моментом инерции материальной точки массы mотносительно оси lназывается произведение массы на квадрат расстоянияdточки до оси, т.е..

Момент инерции плоской фигуры относительно осей OxиOy могут быть вычисленные по формулам

- функция плотности.

Момент инерции фигуры относительно начала координат определяется по формуле.

Пример: Найти массу пластины ограниченной областью (рис. 11)

, ,.

Плотность пластинки .

Р

Рис. 11

ешение:

Массу вычисляем по формуле .

. Так как пластинка часть кольца, целесообразно перейти в полярную систему координат. Формулы перехода: .

- функция плотности в полярной системе координат. r=3, r=5–уравнения окружностей в полярной системе координат. Составляем интеграл:

1.5 Тройной интеграл

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл». Теория тройного интеграла аналогична теории двойного.

Понятие тройного интеграла связано с задачей о массе неоднородного тела. Если тело однородно, т.е. в каждой точке плотность одна и та же, то масса М тела находится по формуле . Определим массу неоднородного тела V, с переменной плотностью ρ=f(x,y,z).

Р

Рис. 12

азобьем областьV сеткой поверхностей на n частей . Рассмотрим элементарную область (рис. 12). Так как можно считать параллелепипедом со сторонами , то объем элементарной области будет равен .

Выберем произвольную точку в каждой элементарной области. В силу того, что область очень мала, считаем плотность постоянной и равной значению функции ρ=f(x,y,z) в точке , т.е. . Тогда масса элементарной области находится по формуле . Масса всего тела будет складываться из масс элементарных областей, т.е. .

Будем неограниченно увеличивать n (), получим .

Если этот предел существует, то он называется тройным интегралом и обозначается

(-элемент объема).

Теорема. Если функция f(x,y,z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V , то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.

Физический смысл тройного интеграла:

Если функция f(x,y,z) непрерывна и показывает плотность распределения вещества в замкнутой области V, то масса всего вещества, заключенного в области, вычисляется с помощью тройного интеграла

.