3.3 Специальные виды векторных полей

Соленоидальное поле.

Поле вектора называетсясоленоидальным или трубчатым, если во всех его точках дивергенция поля равно нулю:div=0(нет источников и стоков).

Отличительная особенность соленоидального поля состоит в том, что в таком поле векторные линии нигде не кончаются и нигде не начинаются. Они уходят в бесконечность или замыкаются. Поле электрической напряженности точечного заряда является соленоидальным, векторными линиями являются лучи, выходящие из точки размещения заряда и уходящие в бесконечность.

В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, а поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одно и то же значение, называющееся интенсивностью трубки.

Потенциальное поле

Векторное поле называетсяпотенциальным(или безвихревым или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю,.

Основные свойства потенциального поля:

1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.

Для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости, равенство Ц=0означает, что в потоке нет замкнутых струй, т.е. нет водоворотов. В потенциальном поле отсутствуют вихри.

2. В потенциальном поле криволинейный интегралвдоль любой кривойLс началом в точкеи концом в точкезависит только от положения точекии не зависит от формы кривой.

3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x,y,z), т.е. если, то функцияU(x,y,z)такая, что

Потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции

U=U(x,y,z) – его потенциал.

Потенциал векторного поля может быть найден по формуле

Пример: Установить потенциальность поля и найти его потенциал.

В качестве фиксированной точки (х₀, y₀, z₀) возьмем точку (0;0;0)

U(x,y,z)=

Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного зарядаq.

Гармоническое поле

Векторное поле называетсягармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. еслии.

Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

3.4 Оператор Гамильтона. Векторные дифференциальные операции

Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U=U(x,y,z)и векторным полемявляются,и. Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные). Эти операции удобно записывать с помощью так называемогооператора Гамильтона(читается «набла»)

Этот символический вектор называется ещё оператором набла . Этот оператор приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

Умножение вектора на скалярную функциюU и векторпроизводится по обычным правилам векторной алгебры, а умножение символовна величиныU, P, Q, R означает взятие соответствующей частной производной от этих величин.

Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:

1. 

2. 

3. 

Векторные дифференциальные операции второго порядка.

После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка.

диф. операции 1-го порядка диф. операции 2-го порядка

U(M)		grad U(M)		div grad U(M)
				rot grad U(M)
		div		grad div
				div rot
		rot		rot rot

Существует пять дифференциальных операций второго порядка. Запишем некоторые формулы для дифференциальных операций 2-го порядка:

1. div grad U=

Наряду с оператором Гамильтона в векторном анализе и его приложениях используется оператор Лапласа, обозначаемый символом ∆. Оператор Лапласа определен следующей формулой - или.

Выражение для div grad U можно записать следующим образом

div grad U=

2. Применяя оператор Гамильтона легко получить , т.к. векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю. Это означает, что поле градиента есть безвихревое поле.

3. , т.к. смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря – соленоидальное, не имеет источников и стоков.

Вопросы для самоконтроля.

1. Что такое скалярное поле? Привести примеры скалярных полей.

2. Привести примеры нестационарных и стационарных скалярных полей.

3. Что такое линии уровня и как их найти?

4. Производная по направлению, градиент скалярного поля.

5. Какое поле называется векторным? Привести примеры векторных полей.

6. Поток и дивергенция векторного поля.

7. Как вычислить циркуляцию векторного поля?

8. Понятие ротора, связь между циркуляцией и ротором векторного поля.

9. Как называется векторное поле, если дивергенция равна нулю, если ротор равен нулю?

Литература: [4] стр. 272-275, [6] стр. 499-524.

Примеры : [4] стр. 303, [1] стр. 192-201.