Дії над комплексними числами

Для «+» і «–» зручніше використовувати алгебраїчну форму: Z1  Z2 = a1 + jb1  a2 + jb2 = (a1  a2) + j(b1  b2)

Для «» і «:» зручніше використовувати показову форму: Z1  Z2 = |Z1| e j  |Z2| e j = |Z1||Z2| e j( + ); 

Z1 / Z2 = |Z1| e j / |Z2| e j = |Z1| / |Z2| e j( – ) ,

але можна і алгебраїчну:

Z1  Z2 = (a1 a2 – b1 b2) + j(a1 b2 + b1 a2); .

Два комплексних числа називаються спряженими, якщо відрізняються тільки знаками уявної частини (в алгебраїчній формі), або знаками аргументів (в показовій формі), наприклад:

a + jb та a – jb;

|Z| e j  та |Z| e –j .

Уявлення параметрів електричного змінного струму через комплексні числа

Повертаючись до електричних величин можна провести аналогію між векторами, що обертаються і комплексними векторами. Ця аналогія дозволяє синусоїдальні величини відображувати комплексними числами. Комплексні значення струмів, напруг і ЕРС прийнято позначати.

Згадаймо вже знайомі кола з активним опором, індуктивністю і ємністю:

Побудуємо для цих кіл векторні діаграми, але вже на комплексній площині, вважаючи, що розташування вектора величини з нульовою початковою фазою співпадає з дійсною додатною піввіссю.

В усіх випадках вектор напруги направлений по осі дійсних чисел. Тому комплекс напруги, деU – модуль комплексу напруги, а 0 – його початкова фаза. Комплекс струму:

• у першому випадку –

• у другому випадку –

• у третьому випадку –

Отже комплексне зображення синусоїдальних величин визначає її діюче (амплітудне) значення і зсув фаз відносно вихідної величини, початкова фаза якої вважається рівною нулю.

Лекція 6. Аналіз кіл синусоїдального струму. План

• Розрахунок кіл синусоїдального струму.

• Закони Кірхгофа для кіл синусоїдального струму.

• Кола з послідовним з’єднанням резистора та котушки індуктивності, резистора та конденсатора.

• Кола з послідовним з’єднанням віток.

• Трикутник опорів та потужностей.

• Розрахунок складних кіл змінного струму.

• Коефіцієнт потужності та його техніко-економічне значення.

Розрахунок кіл синусоїдального струму. Закони Кірхгофа

Розрахунок кіл синусоїдального змінного струму оснований на використанні законів Кірхгофа, які справедливі для миттєвих, амплітудних та діючих значень:

для миттєвих значень – суми алгебраїчні.

ці рівняння справедливі у векторній формі, тобто суми не алгебраїчні, а геометричні.

суми алгебраїчнізавдяки зображенню електричних величин комплексними числами.

Розглянемо кола:

В обох випадках вектор струму направлений по осі дійсних чисел. Комплекс напруги на клемах кола :

• для випадку а) , деU_a і jU_L – дійсна і уявна частини; U і  – модуль і початкова фаза комплексу напруги.

• для випадку б) .

В загальному виразі комплексу напруги “+” перед уявною частиною свідчить, що навантаження має індуктивний характер, “–“ – характер навантаження ємкісний.

Розглянемо електричне коло, що складається з трьох елементів:

, де , а аргумент.

 > 0, якщо U_L > U_C

 < 0, якщо U_L < U_C.

Опір і провідність в комплексній формі.

Розрізняють повний опір Z, реактивний опір X і активний опір R, а також відповідні їм провідності: повна провідність – y = 1/Z, реактивна провідність – b = X / Z² і активна провідність – g = R / Z².

З розглянутих трикутників напруг (наприклад, а) і б)) =

= . Це відношення є законом Ома. Величина–повний опір кола і позначається Z. . Тобто I = U / Z.

Активний, реактивний і повний опір пов’язані між собою як сторони трикутника.

Ці трикутники можна побудувати на комплексній площині і тоді опори можна виразити комплексними числами:

= R + jX = R + j(X_L – X_C), де .

Аналогічно визначаються провідності: .

При записі повної провідності в показовій формі:

модуль комплексу опору – ; аргумент –.