зеленов / eletsehomt48

Это выражение для Рj не противоречит принятым ограничениям. Действительно, в (1.53) dJdt предполагает

переменную движущуюся массу (переменный момент инерции), хотя и рассматривается электропривод с неизменным моментом инерции ( J = const ). В данном случае имеет место не действительное, а ф и к т и в н о е изменение J, что может быть в механизмах с переменным передаточным числом (i ¹ const ). Например, в кривошипношатунном механизме, где фактически постоянная масса ползуна движется поступательно, в результате пересчета к вращательному движению кривошипного вала, а затем и к валу двигателя получается переменный момент инерции в функции угла α поворота вала кривошипа (см. разд. 1.4.3). Выполним преобразование, наглядно показывающее зависимость J=f(α). Для этого умножим и разделим второе слагаемое в правой части (1.53) на dα:

Разделив теперь (1.52) на скорость вращения системы ω и учтя (1.54), получим уравнение движения электропривода, приведенное к этой скорости:

Если ω – скорость вала двигателя, то все величины, входящие в (1.55), т.е. М, MС, J и α, также отнесены к этому валу.

Динамический момент Мj, т.е. правая часть уравне-

47

ляющая динамического момента, определяемая изменени-

ляемая изменением момента инерции при повороте вала на угол α.

Для электроприводов, у которых i = const , ddJα = 0 . В этом случае М j2 = 0 , и уравнение движения (1.55) упроща-

Обычно уравнение движения используется в форме

М - МC = J ddtω .

При этом подразумевается, что в этом уравнении учитываются действительные знаки М и Мс, соответствующие направлениям их действия.

Часто уравнение движения в этой форме записи используется в системе с другими уравнениями для математического описания объекта управления (электропривода). Знаки моментов, действующих в электроприводе, учитываются при введении начальных условий и расчете постоянных интегрирования для решения дифференциальных уравнений.

Аналогично выражениям (1.55) и (1.56) можно получить уравнения поступательного движения приведенной массы m со скоростью v при действии движущей силы ±F и силы сопротивления ±FC. В этом случае в (1.50) запас кинетической энергии (т.е. работу сил инерции) при поступательном движении надо выразить следующим образом:

Далее проводим такие преобразования:

48

В этом случае динамическое усилие Fj при поступательном движении определяется лишь одной составляющей, зависящей от величины движущейся массы и ускорения. Вторая составляющая динамического усилия равна нулю, так как нет фиктивного изменения движущейся массы в функции пути.

Полученное выше уравнение (1.56) при вращательном движении электропривода позволяет решать следующие основные задачи:

1) По известному моменту сопротивления МС и приведенному моменту инерции J о п р е д е л и т ь в р а щ а ю щ и й м о м е н т М , который необходим для

движения электропривода с заданным ускорением ddtω , то

р е д е л и т ь х а р а к т е р д в и ж е н и я п р и в о д а .

49

В этом случае надо найти dω = ±М ± МC . dt J

В таблице 1.4 приведены возможные решения этой задачи.

Таблица 1.4 – Режимы работы электропривода при различных соотношениях моментов М и МС

Соотношение абУравнения движения при различных значениях

солютных М и МС величин

приводом (или рабочей машиной). Решение этих задач будет показано при изложении соответствующих разделов

50

механики электропривода.

4) Аналитическое, графоаналитическое или графическое интегрирование уравнения движения позволяет также п о л у ч и т ь г р а ф и к и м е х а н и ч е с к и х п е р е х о д н ы х п р о ц е с с о в , показывающих движение фазовых координат ω=f(t), M=f(t).

Рассматривая уравнение (1.61) для поступательного движения рабочей машины, можно привести аналогичные рассуждения о типе задач, решаемых с помощью этого уравнения и о возможных энергетических режимах работы электропривода.

1.6.2 Уравнение движения электропривода с переменной движущейся массой и без учета упруговязких элементов

Имеется много механизмов, у которых даже при постоянном

холодной прокатки тонких листов, барабаны шахтных подъемников с переменным радиусом навивки каната, транспортеры и конвейеры, на которые поступает или с которых снимается сыпучий материал. Наконец, в общем случае могут быть механизмы, у которых i ¹ const и mМ ¹ const . Например, качающийся конвейер угольных шахт, в конст-

рукции передаточного устройства которого есть кривошипношатунный механизм.

Рассмотрим уравнение движения электропривода при условии и mМ ¹ const, что позволяет с большей полнотой учесть фак-

торы, влияющие на динамические режимы работы электромеханической системы. Такое уравнение движения электропривода может быть получено из уравнения количества движения материальной системы. Поскольку реальный механизм при i ¹ const и mМ ¹const имеет поступа-

тельное движение, то и уравнение количества движения рассмотрим для этого случая.

Отнесенное к оси поступательного движения у р а в н е н и е и з м е н е н и я к о л и ч е с т в а д в и ж е н и я , равное импульсу силы, имеет вид:

51

где FM, FCM и FjM - соответственно движущая сила, сила статического сопротивления и динамическая (инерционная или избыточная) сила, действующая по оси поступательного движения механизма;

mМ - основная движущаяся масса, приведенная к оси посту-

пательного движения механизма (с учетом величины масс, вращающихся на валу двигателя и промежуточных валах передаточного устройства);

vМ - скорость движения основной массы;

uМ - скорость движения частиц, присоединяемых к основной

массе (точнее это составляющая скорости в направлении или против движения основной массы, т.е. составляющая касательная к траектории основного движения).

Преобразуем правую часть уравнения (1.62), выполнив операцию дифференцирования. Тогда

( FМ - FСМ )×dt = FjМ ×dt =

=mМ × d( vМ -uМ )+( vМ - uМ )× dmМ =

=mМ × dvМ - mМ × dиМ +( vМ - uМ )× dmМ .

Учтя, что uМ = const и dиМ = 0 (так как скорость uМ определяется не кинематикой основного механизма, для которого составляется уравнение движения, а конструкцией устройства для подачи дополнительно присоединяемой или отбираемой массы dmМ ), получим сле-

дующее уравнение количества движения:

Пользование уравнением движения (1.64) неудобно, так как здесь нет в явном виде изменения передаточного числа редуктора (i). Введем в (1.64) передаточное число редуктора, приведя к валу двигателя все входящие в это уравнение силы, массу и скорости и пренебрегая потерями в передачах:

Здесь m - фиктивная, приведенная к валу двигателя масса;

v , F, FC и Fj - реально существующие линейная скорость,

52

движущая сила, сила сопротивления и инерционная (динамическая) сила на окружности якоря (ротора) двигателя;

u - скорость присоединяемой массы, отнесенная к окружности якоря (ротора) двигателя (это фиктивная скорость, удобная для проведения расчетов или вывода формул).

С учетом введенных соотношений приведения к валу двигателя из (1.63) получим

Выполнив теперь операции дифференцирования с переменными v и i (как уже указано ранее, ) и разделив обе части уравнения на i, получим из (1.65) уравнение количества поступательного движения, приведенное к валу двигателя:

Обычно в кинематической схеме механизма приведенная масса m и передаточное число i меняются не в функции времени, а в функции пройденного линейного S или углового α перемещения. Учтя, что ds = v × dt , можно получить уравнение движения в следующем виде:

где ds=R×dα - элементарное перемещение на окружности якоря (ротора) двигателя с радиусом R. Чтобы перейти к вращательному движению вала двигателя, надо учесть также следующие соотношения:

ω= v R - угловая скорость двигателя;

ωu = u R - угловая скорость, соответствующая линейной скоро-

53

сти присоединяемых (отбираемых) частиц дополнительной массы; Mj =Fj ×R - динамический момент на валу двигателя;

M = F × R , MC = FC ×R - движущий момент и момент сопротивле-

ния на валу двигателя;

J = m× ρ2 = m × R2 - момент инерции, приведенный к валу двигателя (радиус инерции ротора ρ примерно равен его геометрическому

радиусу R).

С учетом введенных соотношений получим теперь из (1.68) уравнение вращательного движения привода (промежуточные преобразования опускаем):

Так как dα =ω×dt, то можно представить уравнение движения следующим образом:

Это наиболее общие формы записи уравнений движения жесткой системы с переменным моментом инерции (переменной движущейся массой) и переменным передаточным числом редуктора.

В отдельных частных случаях (а для реальных промышленных объектов таких частных случаев большинство) общее уравнение движения упрощается. Рассмотрим эти случаи:

1) uM =vM - (добавляемая масса имеет скорость основной движущейся массы), то есть ωu =ω. В этом случае из (1.69) получим

В рассматриваемом случае (при ωu = ω ) в действительности mM = const , так как скорости добавляемых частиц ωu и скорость ос-

новной (снимаемой) массы ω равны. Если при этом еще и i = const (нет кривошипно-шатунного узла в передаче), то ddiα = 0 и

т.е. получается уже выведенное ранее уравнение движения (1.56) в разделе 1.6.1.

2) uM = 0 , то есть ωu = 0 (скорость добавляемых частиц равна

нулю, т.е. частицы дополнительной массы падают на конвейер перпендикулярно направлению движения основной массы). В этом случае из общих уравнений (1.69) и (1.70):

54

В этих уравнениях отражено изменение динамического момента под влиянием всех переменных факторов (изменение скорости движения, движущейся массы и передаточного числа). Если же при

рассматриваемом условии будет еще и i = const , т.е. ddiα = 0 , то эти урав-

нения упростятся и примут вид:

т.е. такое уравнение движения отображает лишь влияние на динамический режим работы привода изменения скорости и движущейся массы

за счет подачи дополнительно dJ.

3) mM = const , то есть присоединяемых частиц нет, не происходит действительного изменения движущейся массы ( dJdt =0 , J = const ).

Это условие может быть выполнено только тогда, когда uM =vM , то есть

когда скорость дополнительной массы, поступающей на конвейер, равна скорости основной массы, снимаемой с конвейера. Поэтому в общем уравнении надо полагать J = const , ω = ωM . Тогда

Так как i ¹ const , то уравнение (1.76), как и ранее полученное соотношение (1.71) при uM = vM , отображает фиктивное изменение мо-

мента инерции J, что, однако, из этих уравнений ясно не видно. Лучше представить (1.76) и (1.71), воспользовавшись следующим преобразованием:

так как J = JiM2 ,

Подставляя di из (1.77) в (1.76) или (1.71), получим: dα

то есть из общего уравнения движения получен уже рассматривавший-

55

ся ранее в разделе 1.6.1 частный случай для движения жесткой системы при i ¹ const , когда было получено аналогичное уравнение (1.55)

при i = const , когда ddJα = 0 :

Наличие в движущейся системе переменных масс ( mM ¹ const )

или переменного передаточного числа ( i ¹ const ) делает уравнения движения таких систем нелинейными, что затрудняет или делает невозможным их аналитическое решение в конечных функциях. В этих случаях возможны лишь графические или графоаналитические приближенные решения, в том числе и с помощью ЭЦВМ.

1.6.3 Уравнения движения электропривода с учетом упруговязких элементов в передаточном устройстве

Ранее рассматривалось движение жесткой механической системы, в которой для определения положения (фазовой координаты) любого элемента достаточно было знать закон движения какой-либо точки одного из элементов этой системы. Например, зная уравнение движения вала двигателя, можно легко определить уравнение движения вала рабочей машины, так как эти валы принимались жестко связанными между собой (люфты и упругое закручивание валов не учитывались).

В действительности все элементы механической системы электропривода обладают упругими свойствами, что в некоторых случаях определяет принципиальное отличие их движения от движения механической системы с

56