Тақырып 9: Қоғамдық құбылыстардың өзара байланыстылығын статистикалық зерттеу

1. Қоғамдық құбылыстардың байланыстылығын статистикалық зерттеудің мәні. Функционалдық және корреляциялық байланыстар.

2. Аналитикалық топтау әдісі. Байланыс тығыздылығының көрсеткіштері.

3. Қоғамдық құбылыстардың байланыстылығын бір факторлы корреляция-регрессиялық талдау. Тузу теңдеуінің параметрлерін есептеу.

4. Корреляцияның сызықтық коэффициенті. Еуриялық корреляциялық қатынас. Икемділік коэффициенті. Сызықтық емес байланыстар.

5. Көп факторлы корреляциялық регрессиялық талдау.

Дәрістің мақсаты: Қоғамдық құбылыстардың байланыстылығын статистикалық зерттеудің мәнісін, функционалдық және корреляциялық байланыстар, байланыс тығыздылығының көрсеткіштерін, бір факторлы және көп факторлы корреляция-регрессиялық талдауды үйрету.

Тақырып бойынша негізгі түсініктер: функционалдық және корреляциялық байланыс, рангілі корреляция коэфициенті, Спирмэннің коэфициенті, тура байланыс, кері байланыс, түзу және қисық сызықты байланыс, Фехнер коэфициенті, корреляциялық қатынас әдісі.

Дәрістің конспектісі

1 сұрақ. Статистикада қоғамдық құбылыстар мен процестердің арасындағы өзара байланысты анықтамай тұрып, алдымен сол өзгеріске әсерін тигізетін факторлары мен нәтижелері белгілері арасындағы тәуелділікті анықтайды. Оның өзі құбылыстың ерекшелігіне қарай функционалдық және корреляциялық байланыс болып екі түрге бөлінеді.

Функционалдық байланыс деп бір белгі мәнінің өзгеруіне әсерін тигізетін екінші бір белгінің сәйкес келуін, яғни бір факторлы белгінің мәнінің өзгеруін айтады.Мысалы шеңбердің көлемі оның радиусының шамасына тура пропорциональді. Оны мына формула бойынша көрсетеміз S=πR². Мұнда нәтижелі белгіге – шеңбердің көлемі, факторлы белгіге – шеңбердің радиусы алынады.

Функционалдық байланысты келесі түрде аламыз:

У=ƒ(х_i)

У - нәтижелі белгі;

х_i - факторлық белгі

ƒ(х_i) - осы екі белгі арасындағы функционалдық байланыс.

Қоғамдық құбылыстың өзгеруіне әр түрлі кездейсоқ факторлардың әсер етуін корреляциялық байланыс деп аталады. Олардың әрқайсысының тигізген ықпалының мәндері белгісіз, яғни нәтижелі және факторлы белгі арасындағы өзара тәуелділік дәлме-дәл көрсетілмесе де және бір шаманың өзгеруінен екінші шаманың орташа мәні өзгеретін болса да, оны корреляциялық байланысқа жатқызады.

Статистикада корреляциялық байланыс деп нәтижелі және факторлы белгілер арасында сәйкестіктің болмауын айтады. Корреляциялық байланысқа факторлы белгі мәніне нәтижелі белгінің бірнеше орташа мәні сәйке келеді. Корреляциялық байлансты мына теңдеу арқылы көрсетеді.

У=ƒ(х_i) +E_i

Мұнда ƒ(х_i) – коррекциялық байланыста белгілі болған пен арасныда және ерекше алынған бір немесе бірнеше факторлық белгінің әсерінен қалыптасқан нәтижелі белгі бөлігі, E_i - - жанама және кездейсоқ факторлардың әсерінен пайда болған нәтижелі белгінің бөлігі.

Байланыстың бағытына қарай фунциональді және коррекциялық байланыстар тура және әсері болып бөлінеді. Тура байланыста нәтижелі белгі мәнінің бағыты себепті ықпалдар мәндерінің бағытына тура келеді. Яғни, себепті ықпалдар белгі мәндерінің өсуіне немесе кемуіне қарай нәтижелі белгі мәндері де өседі немее кемиді.

Мысалы, жұмысшының мамандық дәрежесі (разряды) неғұрлым жоғары болатын болса, соғұрлым олрдаң еңбек өнімділігінің дәрежесі де жоғары болады. Демек, бұл белгілердің арасында тура байланыс бар екеніні көруге болады.

Егер себепті ықпалдар белгі мәнінің өсуі салдарынан нәтижелі белгі мәндері кемісе немесе керісінше, яғни себепті ықпалдар кеміген сайын нәтижелі белгі мәндері өсетін болса, онда оны кері байланыс деп аталады. Мысалы: еңбек өнімдерінің артуына байланысты өндірілген өнімнің өзіндік құны төмендейді.

2 cұрақ. Аналитикалық сипаттама бойынша байланыстар түзу және қисық сызықты болып екі түрге бөлінеді.

Түзу сызықты байланыста себепті ықпалдар белгі мәнінің өсуіне немесе кемуіне қарай нәтижелі белгі мәндері бір қалыпты, әрі үздіксізөседі немесе кемиді. Демек, мұнда функционалды байланыстың бар екені байқалады және оны математикалық түзу сызықты теңдеудің формуласы арқылы көрсетеміз.

У=а₀ +а₁ х

У - нәтижелі белгі, ол графиктің ординаты өсінде жатады.

х - факторлы белгі, ол графиктің абсцисса өсінде жатады.

а₀ , а₁ - параметрлер.

Түзу сызықты байланыстың графигі – түзу сызықпен сызылады және экономикалық талдауда сирек қолданылады.

Қисық сызықты байланыста себепті ықпалдар белгі мәнінің өсуіне немесе кемуіне қарай нәтижелі белгі мәндері бірқалыпты өзгермейді және оның өзгеру бағыты керісінше болады, яғни корреляциялық байланыс көрсетіледі. Байланыстың бұл түрі математикалық қисық сызық теңдеуі арқылы парабола немесе гипербола функциялары бойынша анықталады.

У=а₀ +а₁ х + а₂ х²

Сонымен бірге қисық сызықты байланысты көрсету үшін бөлшек теңдеуді де қолдануға болады, ол төмендегідей түрде көрініс береді.

У=а₀ / х +а₁

Түзу сызықты коррекция коэфициентін немесе коррекциялық қатынасын зерттеу, яғни факторлық белгі (х) мен нәтижелі белгі (у) шамасының арасындағы байланыс тығыздығын есептеу кезінде түрлі қиындыққа кездесеміз және жұмыс көлемі ұлғаяды. Сондықтан, өзгермелі осы екі белгінің арасындағы байланыс тығыздығын анықтау үшін жеңілдетілген жай тәсілді қолданғанымыз дұрыс болады. Осындай ең көп тараған тәсіл түріне рангілі корреляция коэфициенті жатады, кейде оны Спирмэннің коэфициенті деп те атайды. Статистикада бұл коэффициентті гректің (Р) - әрпімен белгілейді және мына формула бойынша есептейді.

Р= 1- (G∑d² /n(n² -1))

Мұнда d² - х пен у мәндерінің рангілері арасындағы айырмашылық

d = N_x -N_y ; n - қатардың саны.

Бұл көрсеткішті есептеу үшін факторлық (х) және (у) белгі мәндері өсу немесе кему дәрежесі бойынша рангіленеді, яғни жиынтықтың әрбір бірліктері өздеріне тән белгілеріне қарай ретке келтіріледі және нөмірленеді.

Егер х пен у –тің өзгермелі мәндері бірдей болса, онда олардың рет нөмірінің қосындысын екіге бөлу арқылы орташа шамасы табылады да, әрқайсысы ретіне қарай жеке нөмірленеді.

Кесте1 - Зауыттардың негізгі қоры бойынша өнім шығаруы.

Зауыттың рет нөмірі	Негізгі қор, млн. тг (х)	Шығарылған өнім, млн. тг (у)	Nx	Ny	d = Nx -Ny	d2
1	1,4	2,6	1	1	0	0
2	1,7	2,8	2	2	0	0
3	1,9	3,6	3	3,5	-0,5	0,25
4	3,2	3,6	5,5	3,5	2	4
5	2,7	3,9	4	5	-1	1
6	3,3	4,6	7	7	0	0
7	3,2	4,3	5,5	6	-0,5	0,25
8	4,3	5,9	8	8	0	0
9	4,9	6,6	9	9	0	0
10	6,1	7,8	10	10	0	0
n=10						∑d2=5,5

1 кесте бойынша: мұнда негізгі қор бойынша 4 және 7 қатарда; ал шығарған өнім бойынша 3 және 4 қатарда жатқан зауыттың сандық мәндері бірдей, демек олардың рангілері тең болады: негізгі қор бойынша:

=4+7 / 2 = 5,5

шығарылған өнім көлемі бойынша:

= 3+4 / = 3,5

Содан соң факторлық белгінің рангілерін нәтижелі белгінің рангілерімен салыстырылады. Бұл екеуінің арасындағы айырмашылық азайған сайын, олардың байланысы тығыз бола береді.

Енді осы айтылғанды дәлелдеу үшін, төменде берілген 1 кесте көрсеткіштерін қолданып, рангілі корреляция коэфициентін есептейік.

Р= 1- (6*5,5 / 10(10² -1)) = 1- 33/990 = 0,967

Егер нәтижелі белгі мәндері Факторлық белгі мәндерімен сәйкс келетін болса, онда олардың арасындағы айырмашылық нөлге (d = N_x -N_y =0 және ∑d²=0) тең болады.

Демек, Спирмэннің коэфициенті бірге ( Р=1) тең, бұл екі белгінің арасында тура байланыстың бар екендігін көрсетеді.

Егер рангілер бір-біріне қарама-қарсы бағытта, яғни факторлық белгінің І рангісі нәтижелі белгінің n-ші (соңғы) рангісіне, х – тың ІІ рангісі у-тің n= 1 рангісіне және т.с.с. сәйкс келетін болса, онда ∑d² ең жоғарғы мәні n(n² -1), ал G∑d² /n(n² -1) ең жоғарғы мәні 2- ге тең болады. Мұнда Спирмэннің формуласы бойынша р минус бірге (р= -1) тең, яғни х пен у рангілерінң арасныда кері байланыстың бар екендігі айқындалады.

Егер х пен у рангілерінің арасында өзара байланыс жоқ болса, онда р нөлге (р=0) тең. Мұнда ∑d²= n(n² -1) /6 тең болуы мүмкін. Жалпы алғанда рангілі корреляция коэфициенті әрқашанда нөлден (0) плюс-минус бірге дейін (±1) өзгереді және оны кез-келген сандар қатары бойынша есептеуге мүмкіндік туады.

3 cұрақ. Нәтижелі және факторлық белгілер арасындағы байланыс тығыздығын шашыранды (дисперсия) мен корреляциялық талдау әдісін қолдану арқылы зерттеу жүргізу белгілі бір қиындыққа алып келеді және есептеу жұмысының көлемін көбейтеді. Сондықтан бұлардың арасындағы байланыс тығыздығын жуық шамамен сипаттайтын, есептеу жұмыстары аздау және ең қарапайым түрі болып таңбалы корреляция коэфициенті есептеледі, оны Фехнер коэфтциенті деп те атайды.

Оны есептеу үшін алдымен төмендегі талаптар толығымен орындалуы тиіс: І-ден, факторлы (х)және нәтижелі (у) белгілердің арифметикалық орташа шамалары жеке-жеке есептелуі керек; ІІ-ден, әр қатардағы факторлы және нәтижелі белгілермен арифметикалық орташа шамалардың арасындағы ауытқу бөлек табылуы қажет. Мұнда олардың сандық мәндерінің айырмашылығы емес, тек олардың өздеріне тән плюс немесе минус таңбалары ғана есепке алынады; ІІІ-ден, таңбалары санының сәйкес келу келмеуі қарастырылуы, яғни бөлек саналуы керек.

Егер ауытқу белгілерінң сәйкес келуін С-әрпімен, ал сәйкес келмеуін Р - әрпімен белгілейтін болсақ , онда Фехнер коэфициентін мына формула арқылы есептеуге болады:

Кф = ∑С-∑Р / ∑С+∑Р

Фехнер коэфициентін еептеу үшін 2 кестенің көрсеткіштеріне жүгінейік.

Кесте 2 - Зауыттың негізгі қоры бойынша өнім өндіру мөлшері.

Зауыттың негізгі қоры млн. тг, (х)	өндірілген өнімі, мен тг, (у)	х-	у-	Белгілердің сәйкес (с) немесе сәйкес емес (р) келуі
1,4	2,6	-	-	с
1,7	2,8	-	-	с
1,9	3,6	-	-	с
3,2	3,6	-	-	с
2,7	3,9	-	-	с
3,3	4,6	+	-	с
3,2	4,3	-	-	с
4,3	5,9	+	+	с
4,9	6,6	+	+	с
6,1	7,8	+	+	с
= 3,3	=4,6

Сонымен С=9, Р=1, онда Фехнер коэфициенті +0,8-ге тең боладыы яғни

Кф = ∑С-∑Р / ∑С+∑Р = 9-1/9+1 = 8/10 = +0,8

Осы есептелген көрсеткіш бойынша зауыттың негізгі қоры мен өндірілген өнім мөлшерінің арасныда тура тығыз байланыс бар деген тұжырым жасауға болады.

Фехнер коэфициенті әр түрлі мәнде, яғни минус бірден плюс бірге дейінгі аралықта болуы мүмкін және ол неғұрлым бірге жақындаған сайын факторлы және нәтижелі белгілер арасныдағы байланыс тығыз бола береді. Егер Фехнер коэфициенті +1; ал тура байланыс -1 –ге, ал кері байланыс 0-ге тең болса, онда байланыстың жоқ екендігін көрсетеді.

4 cұрақ. Статистикалық көрсекіштерді зерттеу кезінде тек сандық белгілері ғана емес, сонымен бірге сапалық белгілері де қарастырылады, яғни сапалық белгілері арасындағы өзара байланыс тығыздығы жеке зерттеледі.

Сапалық белгілері арасныдағы байланыс тығыздығының дәрежесін зерттеу үшін альтернативті (екінің біреуін) белгілері бойынша төрт тордан тұратын кесте құрастырамыз және оның әрбір торына сапалық белгінің әріппен (а,в, с, d) белгіленген І және ІІ мәндерін орналастырамыз.

Кесте 3 -Сапалық белгілері арасныдағы өзара байланыс

1 белгінің мәні 2 белгінің мәні	1	2	∑
1	a	b	a + b
2	с	d	c+d
∑	a+c	b+d	N=a+b+c+d

Мұнда a, b, c, d -сапалық белгілердің жиіліктері

N - жалпы жиіліктер қосындысы.

Осы кесе сапалық мәндерін қолдаып, бірнеше көрсеткіштерді есептейік: Юланың ассоциация және контнгенция коэфициенттері.

Ассоциация коэфициенті. Егер төрт торлы кестеде көрсетілген екі сапалық белгі арасындағы өзара байланысты зерттеу керек болса, онда ассоциация коэфициентін қолданған дұрыс.

Ассоциация коэфициенті деп альтернативті екі сапалық белгі арасныдағы өзара байланыс тығыздығын сипаттайтын сандық формуламен есептейді

Ка.с = ad – bc / ad + bc

Кесте 4 -Жұмыстардың жыныстық құрамына қарай өнім шығару мөлшері

Жұмысшының жыныстық құрамы	Жұмыстың өнім шығару мөлшері		Барлығы
	орындайтындар	орындамайтындар
Еркектер Әйелдер Барлығы	70 20 90	6 4 10	76 24 100

Ка.с = 70*4 -20*6 / 70*4 + 20*6 = 160/400=0,40

Егер Кас мәні 0,3 тен кем болмаса, онда сапалық белгілер арасныдағы байланыстың тығыз екендігі байқалады. Мысалда жұмыстардыңЖыныстық құрамына қарай, олардың өнім шығару мөлшері арасныдағы байланыс тығыздығының бар екендігін көруге болады. АК -1ден +1 ге дейінгі мәнге өзгеру және ол неғұрлым +1–ге немесе -1–ге жақындаған сайын, сапалы белгілер арасныдағы өзара байланыс тығыздығы күшейе түседі. Демек аd > вс болса, онда ол белгілер арасында тікелей, байланыс; аd < вс-кері байланыс, аd = вс – байланыс жоқ деген ұғым.

Егер берілегн 4 тордағы сапалық белгі көрсеткішінің біреуі белгісіз немесе жқ, ал АК – нің мәні 1 тен болса, онда белгілер арасныдағы өзара байланыс тығыздығы ұлғаяды. Мұндай жағдайда контингенция коэфициентін қолданған дұрыс.

Статистикада контингенция коэфициенті қолданған дұрыс.

Статистикада контингенция коэфициенті деп альтернативті белгілер арасныдағы өзара тәуелділікті зерттеуді айтады.

Сонда К_конт= 70*4-20*6 / √(70+6)(6+4)(70+20)(20+4) = 280-120 / √76*10*90*24 =160/1281=0,125

Бұл коэффициенттен жұмысшылардың жыныстық тобы мен өнім өндіру мөлшерін орындайтындар арасында өзара байланыс төмен, яғни тіпті жоқ екендігі байқалады.

К_конт де К_ас сияқты –1 ден +1 –ге дейінгі мәнге өзгереді, бірақ ассоциация коэфициентінен әрқашанда кіші болып келеді.

5 сұрақ. Қоғамдық құбылыстар мен процестердің өзгеруін және бір біріне тәуелділігін, яғни нәтижелі белгі мен факторлы белгі арасныдағы байланыс тығыздығын зерттейтін бірден-бір көрсеткіш – корреляциялық қатынас әдісі.

Коррекциялық қатынас деп қатысты шаманы айтады және оны математикалық статистикада гректің ŋ (эта) әрпімен белгілейді. Мұнда шашыранды қосындысының ережесін (G²=δ²+Ĝ) негізеге алып, топаралық шашырандының (δ²) жалпы шашырандығы (G²) қатынасы қарастырылады, оны ғылымда төмендеу (детерминация) коэфициенті деп аталады. Төмендеу коэфициенті мына формула бойынша есептеледі:

ŋ ² = δ² / G²

ŋ ² - төмендеу коэфициенті

δ² - факторлы белгінің (топаралық) шашырандысы

G² - нәтижелі белгінің (жалпы) шашырандысы.

Корреляция индексі немесе корреляция қатынасы:

. ŋ = √δ² / G²