17Е. Двойные корни

Базисные подсчеты во многих случаях также целесообразно пре­образовывать с помощью квадратных корней. Поскольку важную роль играют размеры ячеек, нам нужно применять это преобразо­вание не только к целым значениям подсчетов, которые мы наблюдаем, но и к полуцелым, соответствующим концам ячеек. Это следует из соображений удобства использования и простоты интерпретации, которые особенно важны в отношении концов ячеек.

Очень удачно, что чаще всего оказывается полезным преобразо­вание

¹/'2 + 4 (подсчет),

называемое «двойным корнем». Для концов ячеек оно приводится

к виду

1/2 + 4 (целое число+ 0,5) =

= У4 + 4 (целое число) =

= 2 У целое число + 1.

В результате мы, например, получаем, что ячейка, соответствующая базисному подсчету, равному нулю (для которой подсчет преобразо­вался бы в значение 1^2), преобразуется в интервал от 0 до 2. (За­метим, что если бы мы не сдвигали подкоренное выражение в двойном корне, то левый конец ячейки, соответствующей нулевому базисному отсчету, был бы равен квадратному корню из отрицательного числа.)

ТАБЛИЦА

На илл. 26 собраны наиболее полезные величины, необходимые для практического использования двойных корней при значениях базисных подсчетов до 25. Для каждого базисного подсчета последо­вательно приводятся:

+ значение двойного корня;

<> это же значение после ганнирования;

{> величина (доля) обратной интерполяции (обратного сдвига);

{> размер ячейки (одна конечная точка минус другая);

<> корень из размера ячейки (удобная величина при использо­вании корней из подсчетов);

<> начало ячейки (ее конец есть начало следующей); центр ячейки,

Иллюстрация 26 главы 17: справочная таблица Значения двойных корней для базисных подсчетов от 0 до 25 А) ТАБЛИЦА

Замечание. Для базисных подсчетов от 3 и выше «обратный сдвиг»=

— [2+8 (базисный подсчет)]^-1.

Б) УПРАЖНЕНИЯ

26а) Проведите все вычисления для базисного подсчета, равного 1, удерживая столько десятичных знаков, сколько необходимо, чтобы получить приведенное в таблице значение.

266) Сделайте то же самое для базисного подсчета, равного 4,

26в) Сделайте то же самое для базисного подсчета, равного 17,

Иллюстрация 27 главы 17: сцинтилляции полония

Данные Резерфорда и Гейгера о радиоактивном распаде полония (события — сцинтилляции, вызываемые а-частицами)

А) ОТСЧЕТЫ, КОРНИ, ОТНОШЕНИЯ КОРНЕЙ и РЕЗУЛЬТАТЫ ПЕРВОГО СГЛАЖИВАНИЯ

подсчет корень из подсчета

где У размер бе*

корней =

У размер

размер

Ч Отношение рется из илл. 26.

Б) ВТОРИЧНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ (начиная со столбца ЗПРРГ для первых >в ноете й)

Ч Исправление сделано на основе суждений: а) о форме максимума, б) о длине правого хвоста, В принципе этот столбец есть основа для аппроксимации,

Иллюстрация 27 (продолжение)

В) АППРОКСИМАЦИЯ вида log (отношение корней) = 1,52—0,12 (двойной корень после ганнирования — 4,0)²

Г) УПРАЖНЕНИЯ

27а) Начертите графики используя вычисления п. В, проверьте и, если возможно, улучшите качество аппроксимации.

276) Подберите аналогичное множество данных и повторите все вычисления.

27в) Вычертите графики илл. 28 в зависимости от значений двойных корней после ганнирования вместо зависимости от номеров ячеек.

. Д) ИСТОЧНИКИ: Rutherford Е., Geiger И. The probability variations in the di­stribution of a-particles. The London, Edinburg and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 20, 698—704, 1910 (таблица на с. 701).

Третья из перечисленных величин особенно полезна. Использо­вание двойных корней приводит к ячейкам с неравными размерами и, следовательно, к необходимости обратной интерполяции. Имея под рукой заранее вычисленные доли обратной интерполяции, мы существенно экономим в вычислениях при обработке.

При поиске точки максимума и подгонке распределения в случаях, когда в качестве аргумента используются двойные корни, обычно желательно применять еще один прием: считать, что центры ячеек расположены в точках, куда попадают значения двойных корней после ганнирования. Это смещает «нулевую» ячейку на 0,41, «единич­ную» — на 0,04, следующую — на 0,02, дальнейшие четыре — на 0,01 и остальные — на 0,00. За исключением «нулевой» ячейки, из­менения или сравнительно малы, или очень малы, но даже изменение положения одной «нулевой» ячейки обычно очень полезно.

Иллюстрация 28 главы 17: сцинтилляции полония Неровности — остатки (по данным илл. 27)

СЦИНТИЛЛЯЦИИ ОТ ИЗЛУЧЕНИЯ полония

На илл. 27 приведены вычисления, связанные с обработкой дан­ных Резерфорда и Гейгера, касающихся числа сцинтилляций (вспышек света) в интервалах фиксированной длительности (1/8 минуты). В этих данных каждая сцинтилляция свидетельствует о приходе одной а- частицы в результате радиоактивного распада одного атома полония. Сам эксперимент и его интерпретация, данная Резерфордом, Гейгером и Бейтменом, являются классическими в теории радиоактивного распада и установления его случайного характера. На верхнем графике илл. 28 показаны неровности, которые:

а) выглядят умеренно нерегулярными;

б) имеют не слишком большой разброс;

в) свидетельствуют о неспособности нашей плавной компоненты адекватно описать достаточно узкий пик, образуемый данными (кор­нями из отношений).

Прежде чем перейти к аппроксимации (см. илл. 27, В), мы подпра­вим в двух местах плавную компоненту, как указано в примечании к п. Б. На нижнем графике илл. 28 показаны остатки, которые нельзя считать ни хорошими, ни слишком плохими. Чтобы получить более или менее приемлемую аппроксимацию данных (сглаженных и под­правленных корней из отношений) в областях, далеких от пика, мы были вынуждены сдвинуть точку максимума аппроксимирующей зависимости на одну ячейку влево относительно пика. Это вызвало большой «всплеск» в графике остатков. Ясно, что остатки имеют боль­ший разброс, чем нам хотелось бы, причем две точки являются внеш­ними по отношению к эталонным барьерам (хотя лежат внутри барье­ров, соответствующих данным).

Использование двойных корней:

положение=|/ 2+4 -подсчет, размер 4+4 -подсчет—У 4 -подсчет

обеспечило:

а) достаточно хорошее качество сглаживания данных Резерфорда и Гейгера;

б) удовлетворительную аппроксимацию сглаженных данных.

(Кажется, что в остатках есть некоторая закономерность, но что-

либо конкретное об этом сказать трудно.)

ОБЗОРНЫЕ ВОПРОСЫ

Что такое двойные корни? Почему возникает в них необходимость? Каковы границы ячеек для базисных подсчетов, равных 1, 2 и 3? Какие величины приведены в таблице? Как их использовать? Как мы размещаем ячейки, соответствующие двойным корням? Есть ли в этом что-нибудь необычное? Какой пример мы рассмотрели? Ка­ковы были результаты? Что мы сделали перед подгонкой? Насколько хорошей получилась аппроксимация? Насколько полезными вам кажутся двойные корни?