Остатки после аппроксимации данных, сгруппированных по ячейкам в виде октав, для трех примеров илл. 1

По-видимому, мы должны искать такой алгоритм анализа, который О оперирует с комбинациями таких пар;

<> обеспечивает симметричную их обработку;

0^ использует квадратный корень из наибольшего числа появ­лений (корень из наибольшего базисного подсчета) как одно крайнее значение и квадратный корень из общего числа наблюдаемых объектов (корень из наибольшего ранга) как другое крайнее значение,

ОБЗОРНЫЕ ВОПРОСЫ

Почему необходим особый способ графического изображения и анализа распределений с длинными хвостами? С какого примера мы начали? Что показали остатки? Что показали наибольшие значения базисных подсчетов? Как наиболее эффективно представить инфор­мацию, содержащуюся в этих наибольших значениях? Какие две величины, в некотором отношении симметричные друг другу, соот­ветствуют каждому базисному подсчету? Что такое п-ранг?

18Б. Анализ произведений-отношений

Как можно объединять х и у с целью их симметричной обработки? Один из простейших способов —- образовать величины х-\-у и х—у, однако в данном случае он не кажется многообещающим. Другой спо­соб, применимый, когда и х и у отличны от нуля,— это образовать величины ху и х!у. Если х и у всегда положительны (как в нашей задаче), лучше вместо х/у использовать log (х/у). Это уже более обе­щающее начало. Наконец, при х=1, как уже говорилось, целесооб­разно использовать |f у, апри у— 1 — величину ]/ х. Поэтому вместо ху нам более подходит Уху, Гаким образом, в окончательной форме наш анализ заключается в исследовании поведения величины

|/(базисный подсчет) • (полный ранг сверху) как функции от

log (базисный подсчет/полный ранг),

т. е. корня от ПРОИЗВЕДЕНИЯ как функции от логарифма ОТНО­ШЕНИЯ- По-видимому, эта зависимость — как раз то, что нам нужно, особенно если вспомнить, какое значение Зипф придавал ПРОИЗВЕ­ДЕНИЮ. (Конечно, мы далеко не так оптимистичны, как он. Мы надеемся, что зависимость произведения от отношения будет доста­точно простой, но вряд ли произведение окажется константой.)

На илл. 3 демонстрируются все этапы анализа произведений- отношений на примере с не очень большим количеством данных. Иллюстрация содержит и детальные вычисления, помещенные в первых четырех столбцах, и расчеты, основанные на двух полуоктавных

Иллюстрация 3 главы 18: научная активность в эконометрике

Число авторов, имеющих различное число публикаций за период с 1933 по 1952 г.

(Публикацией считается выступление на заседании Общества эконометрики или статья на страницах журнала «Эконометрика»)

А) ВЫЧИСЛЕНИЯ (детальные и по полуоктавам)

^х> Полуоктавные последовательности ПРОИЗВЕДЕНИЙ и ОТНОШЕНИЙ объединяются друг с другом.

²> Примеры: 6,8= }^Г46Л; 8,6= УЗЙ2 и т. д. до 26,9= УГ-72Т.

³⁾ Примеры: l,66=lg46/l; 1,27= lg37/2 и т. д. до —2,86=lgl/721.

Б) УПРАЖНЕНИЯ

За) Проведите прямую линию через точки (1,66; 6,8) и (—2,86; 26,9) и, используя ее, найдите аппроксимацию для корней. Вычислите остатки и начертите их график. Прокомментируйте результаты.

36) Интерполируйте значения для базисного подсчета, равного 1п, и п-ранга, рав­ного 1п, и сгладьте полученные последовательности базисных подсчетов и п-рангов. Сравните их с исходными и прокомментируйте результаты.

В) ИСТОЧНИК: Leavens D, H_t (Communication), Econometrica, 21, 630—632, 1953,

подмножествах данных (согласно методу, описанному ниже), Отме­тим, что в столбце с названием «Корень из произведения» помещены квадратные корни произведений данного базисного подсчета на число наблюдаемых объектов (здесь — авторов), имеющих базисные под­счеты, большие или равные данного (п-ранг). Этот столбец начинается с V46, где 46 — наибольший базисный подсчет, и кончается ]/"721, где 721 — общее число авторов (в соответствии с описанным выше алгоритмом).

ВЫЧИСЛЕНИЯ НА ПОЛУОКТАВАХ

Зачастую достаточно брать только те пары (базисный подсчет, п-ранг), для которых базисный подсчет или п-ранг равен (или близок) полуоктавным значениям (т. е. 1, 1 п, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 16, 22, ...), на­чиная выбор одновременно с двух сторон: о минимальных значений базисных подсчетов и минимальных п-рангов — и останавливаясь на месте их пересечения, в котором базисный подсчет приблизительно равен п-рангу, Практически это означает, что можно делать вычисле­ния только в тех строках илл. 3, которые соответствуют двум множе­ствам полуоктавных значений, экономя на вычислениях в семи стро­ках илл. 3 (и в значительно большем числе строк в случае примера о большим объемом данных).

ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ

На илл. 4 приведен график зависимости корней из ПРОИЗВЕДЕ­НИЙ от логарифмов ОТНОШЕНИЙ. Совершенно очевиден прямоли­нейный характер этой зависимости. Положение двух крайних точек, соответствующих общему числу авторов 721 и максимальному «вкла­ду» одного автора, равному 46, по существу, полностью определяет всю зависимость. (Видно, что в данном случае зависимость весьма проста, но далеко не постоянна.)

Несколько упражнений помещено на илл. 5.

ОБЗОРНЫЕ ВОПРОСЫ

Как мы комбинируем базисные подсчеты и п-ранги? Почему мы выбрали именно такой способ их объединения? Что такое анализ произведений-отношений? Должны ли мы принимать во внимание каждый из базисных подсчетов? Как можно использовать полуоктав- ные «ступени»? Насколько строго они должны соблюдаться? Какой пример мы рассматривали? Как выглядел график произведения- отношения?