17Д. Ячейки неравных размеров

Если ячейки различаются по размерам, нужно вместо величин

У подсчет

рассмотреть величины

-j Г подсчет V размер ячейки '

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть какой-нибудь пример с одинаковыми ячейками, в каждую из которых попадает примерно 90—110 подсчетов, и поэкспериментировать, объединяя две-три ма­ленькие ячейки в одну большую И сразу станет ясно, что деление числа подсчетов на размер ячейки — очень важная операция.

Поскольку ячейки имеют различные размеры, их центры распре­делены на прямой неравномерно. Это вызывает трудности в исполь­зовании ганнирования. В такой ситуации возможны два подхода:

<0 опустить ганнирование и использовать только «ЗПРР, дважды»;

<> применить ганнирование одновременно к последовательности центров ячеек и к последовательности частично сглаженных корней, а затем осуществить обратную интерполяцию.

Первый способ мы почти всюду далее оставляем в качестве упраж-

нения.

/-СТАТИСТИКА СТЬЮДЕНТА

Попытаемся проиллюстрировать второй подход на примере остав­шихся нерассмотренными результатов модельного эксперимента Стью- дента (приведенных на илл. 18). Вычисления приведены на илл. 22. Заметим, что поскольку мы сглаживаем величины

/подсчет размер ячейки ’

то, желая получить неровности для корней из подсчетов, мы должны окончательные неровности умножить на квадратный корень из раз­мера ячейки. Эти неровности изображены на илл. 23. Они выглядят достаточно нерегулярными и имеют разброс, близкий к стандартному.

АППРОКСИМАЦИЯ ПЛАВНОЙ КОМПОНЕНТЫ

Аппроксимация производится с помощью обычной процедуры по­иска максимума. Результаты вычислений содержит илл. 24. В левой части п. Г этой иллюстрации изображены значения сглаженных кор­ней подсчетов в зависимости от квадрата смещения. График имеет явно криволинейный характер. Значения логарифмов сглаженных корней подсчетов в зависимости от квадрата смещения приведены в средней части п. Г. Они также не ложатся на прямую. Это заставляет

Иллюстрация 22 главы 17: моделирование

Плавная компонента и неровности корней для данных Стьюдента (моделирование ^-статистики на основе измерений роста)

А) ВЫЧИСЛЕНИЯ по ячейкам №

ячей

Замечания.

1. Ячейки только с одной границей (#1 и #15) не имеют естественного определения размера и центра.

2. После ганнирования ячейка #3 сдвигается до —1,86, а ячейка #4 — до —1,32. Чтобы вернуть, например, ячейку #3 назад в исходную точку —1,80, нужен сдвиг на 0,06. В то же время, для того чтобы перевести ее в точку, соответствующую ячейке #4, требуется сдвинуть ее на 0,54. Полезный прием состоит в том, чтобы сделать сдвиг на 0,06/0,54=1/9 в направлении ячейки #4. Аналогичным образом следует поступать с другими ячейками.

Б) ВТОРОЕ СГЛАЖИВАНИЕ (результаты первого сглаживания — на илл. 24,В)

Иллюстрация 22 (продолжение)

Отметим, что окончательная плавная компонента и окончательные неровности даны выше для квадратных корней из отношения (подсчет/размер), а НЕ для квад­ратных корней из подсчетов.

В) БУКВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ для НЕРОВНОСТЕЙ КОРНЕЙ

Г) УПРАЖНЕНИЯ

22а) Повторите вычисления для данных эксперимента Стьюдента с измерениями длины пальца (правый столбец илл. 18).

226) В работе: Chavez Н., М, Contreras С., Т. P. Е. Hernandez D. On the coast of Ta- maulipas. International Turtle and Tortoise Society Journal, 2, no. 5, 16—19* 27—34, 1968, приводятся следующие подсчеты длительностей (в сутках) инку­бационного периода для 1664 яиц диких голубей:

Сутки 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 64 65

Число яиц 77 122 10 321 725 180 162 21 14 6 9 14 1 1

Выполните подробный анализ, используя величины |^число суток. Прокоммен­тируйте результаты.

22в) Выполните подробный анализ, используя логарифмы. Прокомментируйте

результаты.

22г) Сделайте то же самое, используя величины V —494-время (в сутках). Проком­ментируйте результаты.

Иллюстрация 23 главы 17: моделирование Неровности для аппроксимации из илл. 22

Иллюстрация 24 главы 17: моделирование

Аппроксимация плавной компоненты илл. 22 (в качестве точки максимума использовано число 8,00)

А) ВЫЧИСЛЕНИЯ	3.5	13.8	7.9	-2.55	6.50	28.6	32.9	3.0	.8	1.0	-.8
3	5.4	13.1	8.1	-1.8	3.24	18.5	18.8	5.3	-.5	.71	-.4
	8.1	12.1	8.0	-1.3	1.69	12.3	12.1	8.3	-.2	.71	-.1
5	11.7	11.1	8.0	-.9	.81	8.5	8.3	12.0	0	.55	0
	15.8	10.1	8.0	-.6	.36	6.3	6.4	15.6	-.3	.55	-.2
7	19.7	9.1	8.0	-.3	.09	5.1	5.2	19.2	.8	.55	4
	21.4			0	0	4.7	4.8	20.8	1.7	.55	.9
9	20.0	7.2	8.1	.3	.09	5.0	5.2	19.2	1.0	.55	6
	16.4	6.2	8.0	.6	.36	6.1	6.4	15.6	-.6	.55	.3
11	12.1	5.1	8.0	.9	.81	8.3	8.3	12.0	.8	.55'	,4
	8.5	4.1	8.0	1.3	1.69	11.8	12.1	8.3	“1.0,	.7,1	у
13	5.7	3.1	8.0	1.8	3.24	17.S	18.8	5.3	.4	71	3
	3.2			2.55	6.50	31.2	32.9	3.0	.2	Т .00	.2

Омещ^ № ,пчей- Б) БУКВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ для ОСТАТКОВ #13 М 7		7
С 4	.4		-.2
В 2п	.7		-.Зп
		.9
б[	1.3		-1.1
!	XXX		XXX

.6 1.0" В) ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ и ПЕРВОЕ СГЛАЖИВАНИЕ Корни	1, из ,	тки
из	1 раз­	(для
остат-	меров!	кор­
ков	)ячеек(	ней )

Корни Оста-		Аппр.=
1 00/		; 4» 8 +•
сглаж.		4,32 х
корни		(Л-8)2

Аппр.

сглаж,

корней

Симмет- Попу- |ричные| |сум-| Ментр ячейки мы ячейки!

Окон­

чат.

сглаж.

			Первой..
	Обратные		неров- !
I Корни I | ЗПРРГ I	сдвиги1)		ности [

Отно­

шения

Число подсче­тов в

ячейках

Размерь¹

ячеек

	1.0	14п		14п	3.8		3.8		(3.8)	0
3	.5	11 п		23	4.8		5.4		5.7	-.9
	.5	33		66	S.1		8.2		8.4	-.3
5	.3	43 п		145	12.0		11.8		12.0	0
	.3	70п		235	15.3		15.6		(15.6)	-.3
7	.3	11ЭП		398	22.0		18.9		(18.9)	1.1
	.3	151 п		505	22.5		20.2		(20.2)	2.3
9	.3	122		407	20.2		18.9		(18.9)	1.3
	.3	67 л		225	15.8		15.8		(15.8)	-.8
11	.3	49		163	12.8		12.0		12.3	.5
	.5	26л		53	7.3		8.2		8.5	-1.2
13	.5	16		32	5.7		5.4		5.7	0
	1.0	10		10	3.2		3.2		(3.2)	0
И Неизмененные			значения	взяты в		скобки.
5,3-{-(1/9) (8,2—5,3); 8,4=				8.2-К1/15)		(11,8-		-8,2) и	т. Д,

Иллюстрация 24 (продолж ние)

Г) ТРИ ГРАФИКА (а —- корни подсчетов, б — логарифмы корней подсчетов, в— обратные величины для корней)

Д) УПРАЖНЕНИЯ

24а) Попробуйте значение 0,03 в ка­честве точки максимума и прове_в дите все вычисления вплоть до графика остатков. Сравните с ил л. 24.

246) Проделайте то же самое для зна­чения —0,03 в качестве точки максимума.

24в) Подберите прямую линию к графи­ку логарифмов сглаженных кор­ней и постройте график остатков. Прокомментируйте результаты.

24г) Проведите вычисления п. А для данных Стьюдента, относящихся к измерениям длины пальца (из илл. 18,А).

Иллюстрация 25 главы 17: моделирование

График остатков для корней в зависимости от номера ячейки (по данным из илл. 24)

нас перейти к обратным величинам от корней подсчетов, график ко­торых в зависимости от квадрата смещения показан в правой части п. Г. Наконец, мы получаем «линейную картину» и можем продолжить вычисления: сначала подобрать под обратные величины корней ли­нейную зависимость, а затем последовательно вычислить аппрокси­мирующую зависимость для самих корней, остатки для «корней на единицу размера ячейки» и, наконец, остатки для корней исходных подсчетов. Последние остатки изображены на илл. 25. Они выглядят достаточно нерегулярными и имеют разброс, близкий к стандартному (правда, в целом остатки слегка смещены в положительную сторону и имеют некоторую тенденцию к наклону — это позволяет надеяться,, что, несколько изменив аппроксимацию, мы получим чуть лучшие результаты).

Зависимость, которую мы в результате получили, имеет вид, отличный от того, что мы когда-либо имели раньше:

— — ¹ = 4,8 — 4,32 (смещение)².

У подсчетДразмер ячейки)

Однако она гораздо лучше аппроксимирует исходные данные, чем те зависимости, которые мы имели бы, осуществляя линейную под­гонку под графики корней из подсчетов или логарифмов корней.

ОБЗОРНЫЕ ВОПРОСЫ

Что следует делать, если размеры ячеек различны? Почему? Как следует видоизменить процедуру сглаживания? Какие здесь имеются варианты? Что можно делать в этом случае и что мы действительно делали? К какому примеру мы вновь обратились? Какие изменения необходимо сделать в процедуре вычислений? Можем ли мы исполь­зовать неровности в том виде, в каком они получаются в результате сглаживания? Почему (или почему нет)? Как выглядели наши неров-

ности? Как осуществлять аппроксимацию? Можно ли использовать остатки сразу после подгонки? Какую форму аппроксимирующей зависимости мы получили? Встречалась ли она раньше?