17В. Аппроксимация сглаженных корней

После того как в результате сглаживания наша плавная ком по нента приобрела достаточно хороший вид, следующим шагом н ляется попытка «подогнать» под нее какую-либо - простую нальную зависимость (иногда это целесоооразно делать после предва пительтого преобразования данных). Простейшая аппроксимация которая дает гладкий симметричный максимум. например АЛЯ дан Пирсона и Ли (илл. 1), есть прямолинейная зависимость (некоторой функции от корней из подсчетов)

ОТ а

(длины предплечья МИНУС абсцисса максимума его распределения) •

(Как мы увидим далее, именно квадрат обеспечивает и симметрию подгоняемой зависимости и наличие максимума.) Мы будем называть словом «смещение» разность между текущей точкой В и точкой макси­мума (горизонтальной координатой максимума). При таком обозначе­нии имеем:

Иллюстрация 12 главы 17: длина предплечья

Нахождение точки максимума с помощью центров сечений (отмечены знаком «Л»)

(Каждый знак Л означает кажущееся положение точки максимума)

Д=точка максимума ПЛЮС смещение, смещение = В МИНУС точка максимума, аппроксимация == константа ПЛЮС (угловой коэффициент) х X (смещение)².

Таким образом, мы должны для любого множества данных

О найти точку максимума,

выбрать подходящее преобразование,

<3> подогнать под преобразованные данные прямую.

КАК НАЙТИ ТОЧКУ МАКСИМУМА?

Найти точку максимума, используя значения кривой вблизи вер­шины, обычно очень трудно. При этом даже незначительные нерегу­лярности могут увести нас от истинной точки. Как мы судим на глаз о положении максимума при условии, что плавная компонента выгля­дит симметричной? В общих чертах алгоритм таков. Двигаясь вниз от вершины, мы выбираем две точки на одинаковой высоте и делим раз­ность их абсцисс пополам. Для быстроты удобнее начинать с точек,

нянргенных на график. На нлл. 12 на примере данных о длине пред­плечья показано, как эту процедуру можно реализовать графически Следует отметить некоторую тенденцию точки максимума сдвигатьсг вправо с понижением уровня «засечек». На илл. 13 то же самое про-

13. Б нанесены сглаженные значения квадрат­ных корней подсчегов в зависимости от квадрата смещения. Отметим что мы “пользовали крестик для точек е одной стороны криво « кт/жпк л ля точек с другой ее стороны. Это позволяет судить о том, существует ли систематическое отличие в поведении одной половины кривойотносительно другой ее половины (небольшая «систематика» в данном случае имеется) или расхождения нерегулярны. На этой иллюстрации мы видим, что «прорисовывается» достаточно четкая пиния которая правда, далека от прямой. Следовательно, необходимо ввести’ какое-то преобразование плавной компоненты квадратных корней подсчетов.

Иллюстрация 13 главы 17: длина предплечья Нахождение точки максимума для данных Пирсона и Ли из илл. 1

д\ ПЛАВНАЯ КОМПОНЕНТА КОРНЕЙ, АБСЦИССЫ ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ ТОЧЕК И КВАДРАТЫ РАЗНОСТЕЙ

оказывается длиннее левого,

Иллюстрация 13 (продолжение)

Б) ГРАФИК ЗАВИСИМОСТИ ОТ КВАДРАТА СМЕЩЕНИЯ

ВЫБОР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Мы уже знаем, как приступить к подбору преобразования, оттал­киваясь от нескольких выбранных точек кривой. Анализируя илл. 13, мы сначала останавливаемся на точках (0; 15), (10; 7,5), (20; 3,9). Тщательное рассмотрение этих трех точек заставляет выбрать лога­рифмическое преобразование сглаженных корней. Действительно, абсциссы этих точек (0; 10; 20) равноотстоят друг от друга, в то время как ординаты отличаются приблизительно постоянным множителем. Числовые значения логарифмов приведены в правой части илл. 13, А. Справа на илл. 13, Б изображены логарифмы сглаженных корней в зависимости от квадрата смещения. Точки явно ложатся на прямую. Это свидетельствует о том, что мы выбрали правильное преобразова­ние. Однако следует отметить, что в нижнем правом углу графика точки, нанесенные в виде кружков, лежат ниже крестиков. Это указывает на тенденцию к нарушению симметрии нижней части исходной кривой относительно выбранной точки максимума.

НАХОЖДЕНИЕ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ЗАВИСИМОСТИ

На илл. 14 на том же самом графике проведена прямая. Поскольку она проходит через точки (0; 1,17) и (50; —0,24), ее уравнение имеет вид

log (сглаженные корни) = 1,17—0,0282 (квадрат разности).

Иллюстрация 14 главы 17: длина предплечья Окончательный график с аппроксимирующей прямой

При л:=0 у— 1,17, при дг=50 у=—0,24,

Дл:=50 соответствует Ду——1,41,

Д*=1 соответствует Ду——0,0282;

следовательно, у—1,17—0,0282 (В —8,25)².

Результаты вычислений с использованием этой зависимости приве­дены на илл. 15. Остатки графически изображены в п. Б этой иллю­страции. График свидетельствует о довольно умеренной нерегуляр­ности остатков и наличии некоторого тренда. Кроме того, буквенные значения множества остатков больше, чем стандартные. Это вызы­вает сомнение: достаточно ли удачна наша подгонка? Чтобы ответить на этот вопрос, сгладим остатки — вычисления приведены на илл. 15, А, график сглаженных остатков — на илл. 15, В. Значения сгла­женных остатков достаточно велики — они достигают «сгибов» для несглаженных остатков, что убеждает нас в необходимости улучшить аппроксимацию.

ОБЗОРНЫЕ ВОПРОСЫ

Какова общая форма зависимости, которую мы собираемся ис­пользовать в качестве аппроксимирующей? Что мы называем смеще­нием? Какова простейшая из зависимостей от смещения, имеющих желаемый вид? Какая функция зависит наиболее просто от величины (смещение)²? Как искать точку максимума? Годится ли этот способ в случае несимметричного распределения? С какого примера мы начали? Каков был результат? Для чего мы выбирали три точки?

Иллюстрация 15 главы 17: длина предплечья