1. Механика Основные законы и формулы. Кинематика.

• Положение материальной точки в пространстве задается радиус-вектором r:

где – единичные векторы направлений (орты), х, у,z – координаты точки.

Кинематические уравнения движения в координатной форме:

где t – время.

• Средняя скорость

,

где - перемещение материальной точки за интервал времени .

Средняя путевая скорость

,

где - путь, пройденный точкой за интервал времени .

Мгновенная скорость

,

где - проекции скорости на оси координат

Модуль скорости

• Ускорение

,

где - проекции ускоренияна оси координат.

Модуль ускорения

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальнойи тангенциальнойсоставляющих.

Модули этих ускорений

,

где R – радиус кривизны в данной точке траектории

• Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

,

где х₀ - начальная координата; - время. При равномерном движении

и

• Кинематическое уравнение равнопеременного движения () вдоль осих

,

где - начальная скорость,- время

Скорость точки при равнопеременном движении

• Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением)

Кинематическое уравнение вращательного движения

• Средняя угловая скорость

,

где ∆- изменение угла поворота за интервал времени ∆.

Мгновенная угловая скорость

• Угловое ускорение

• Кинематическое уравнение равномерного вращения

,

где - начальное угловое перемещение;- время

При равномерном движении

и

Частота вращения

или,

где N – число оборотов, совершаемых телом за время ;T – период вращения (время одного полного оборота).

• Кинематическое уравнение равнопеременного вращения ()

,

где - начальная угловая скорость;- время

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении

• Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующие вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R ,

(- угол поворота тела);

скорость точки линейная

;

ускорение точки:

тангенциальное

;

нормальное:

Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно.

• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

в векторной форме

, или ,

где - геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку;- масса;- ускорение;- импульс;N – число сил, действующих на точку;

в координатной форме (скалярной):

или

где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.

• Сила упругости

где k – коэффициент упругости (жесткость в случае пружины); x – абсолютная деформация.

• Сила гравитационного взаимодействия

,

где G – гравитационная постоянная; т₁ и т₂ – массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки; r – расстояние между ними.

4. Сила трения скольжения

где f – Коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

• Координаты центра масс материальных точек

где m_i – масса i-той материальной точки; - ее координаты.

• Закон сохранения импульса

или

где N – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

• Работа, совершаемая постоянной силой

или

где - угол между направлениями векторов силыи перемещения

• Работа, совершаемая постоянной силой

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.

• Средняя мощность за интервал времени

• Мгновенная мощность

или ,

где dA – работа, совершаемая за промежуток времени

• Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося поступательно)

или

• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением

или

где - единичные векторы (орты).В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное), то

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами т₁ и т₂ , находящихся на расстоянии r друг от друга,

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус Земли.

• Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде

• Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров после удара:

и формулу скорости абсолютно упругих шаров после удара:

где т₁ и т₂ - массы шаров; v₁ и v₂ – их скорости до удара.