Kurs_vysshei_matematiki_UP_Berkov_N.A._2007-2
.pdf
u(r, ϕ)
u(r, ϕ)|r=R = ψ(R cos ϕ, R sin ϕ) = f (ϕ),
f (ϕ) 
L
r = R
u(r, ϕ) = R(r)
(ϕ).
(ϕ)R (r) + 1r 
(ϕ)R (r) + r12 R(r)
(ϕ) = 0.
− |
rR (r) + r2R (r) |
= |
(ϕ) |
= C. |
R(r) |
(ϕ) |
C
C = −λ2.
(ϕ) + λ2 
(ϕ) = 0,
r2R (r) + rR (r) − λ2R(r) = 0.
|
|
(ϕ) = A cos(λϕ) + B sin(λϕ). |
|
|
|
|
|
ϕ |
2π |
|
|
(r, ϕ) |
|
|
|
ϕ |
|
|
|
2π |
λ = 1, 2, 3, . . . |
|
|
|
|
|
k(ϕ) |
|
|
|
|
k(ϕ) = Ak cos(kϕ) + Bk sin(kϕ), k = 1, 2, 3, . . . |
|
|
|
|
|
λ |
λ |
|
|
|
|
Bk |
|
|
|
R(r) = rm |
|
R (r) = mrm−1, R (r) = m(m |
− |
1)rm−2 |
|
|
|
r2m(m − 1)rm−2 + rmrm−1 − λ2rm = 0 |
|
||
2 |
2 |
|
|
||
m |
− λ = 0 |
m1,2 = ±λ |
|
|
|
R1(r) = rλ |
R2(r) = r−λ |
R2(r) = r−λ |
|
r → 0 |
|
|
|
|
|
||
R(r) = Crλ λ = k 
Rk(r) = Ckrk.
uk(r, ϕ)
uk(r, ϕ) = Rk(r)
k(ϕ) = (Ak cos(kϕ) + Bk sin(kϕ))Ckrk = = (ak cos(kϕ) + bk sin(kϕ))rk, k = 1, 2, 3, . . .
u0(r, ϕ) = a0/2 
u(r, ϕ) 
|
|
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|
|
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|
∞ |
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
a0 |
|
(ak cos(kϕ) + bk sin(kϕ))rk. |
|||||
u(r, ϕ) = |
|
+ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
ak |
|
|
|
bk |
∞ |
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|
|
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||||
|
|
|
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|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(r, ϕ)|r=R = |
|
2 |
+ |
(akRk cos(kϕ) + bkRk sin(kϕ)) = f (ϕ), |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
a0 = |
|
|
|
f (ϕ)dϕ, |
akRk = |
|
|
f (ϕ) cos(kϕ)dϕ, |
|||||||||
π |
π |
||||||||||||||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
bkRk = |
1 |
|
f (ϕ) sin(kϕ)dϕ, |
|
k = 1, 2, 3, . . . |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
π |
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
π |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|||||||
a0 = |
π |
|
|
|
|
|
f (ϕ)dϕ, |
ak = |
Rkπ |
|
−π |
f (ϕ) cos(kϕ)dϕ, |
|||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
bk = |
|
−π f (ϕ) sin(kϕ)dϕ, |
|
k = 1, 2, 3, . . . |
|||||||||||||
Rkπ |
|
||||||||||||||||
ak 
bk 
R
10C 
00C
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ϕ) = |
1, |
|
|
|
|
|
0 ϕ π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
π < ϕ < 2π. |
|
|
|
|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a0 = |
|
0 |
1dϕ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak = |
|
|
1 cos(kϕ)dϕ = 0. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
0dϕ = 1, |
|
πRk |
|
||||||||||||||||||||||
b |
|
= |
1 |
|
0 |
|
1 sin(kϕ)dϕ = |
1 − (−1)k |
|
b |
|
= 0, b |
|
|
= |
2 |
. |
||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
2n−1 |
πR2n−1(2n − 1) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
πRk |
|
|
|
|
|
|
|
|
πRkk |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(r, ϕ) = |
1 + 2 |
∞ |
|
r |
2n−1 sin((2n − 1)ϕ) . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π n=1 |
R |
|
|
|
|
2n − 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
2π |
R2 − τ 2 |
|
|
u(r, ϕ) = |
f (τ ) |
dτ. |
|||
|
|
||||
|
2π |
0 |
R2 − 2Rτ cos(τ − ϕ) + τ 2 |
|
0z
a 
b 
M 
x 
N 
y 
x 
y 
hx 
hy
y
b |
|
|
m,n |
0 |
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2u |
|
|
∂2u |
|
(m, n) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x2 |
|
∂y2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
um+1,n − 2um,n + um−1,n + um,n+1 − 2um,n + um,n−1 = 0, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
hx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
hy2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1, 2, . . . N |
|
|
1; m = 1, 2, . . . , M |
1, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
u |
m,0 |
= ϕ(x |
m |
, 0), |
m = 0, 1, . . . , M, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
m = 0, 1, . . . , M, |
|
|
|
||||||||||
um,N = ϕ(xm, b), |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ϕ(0, yn), |
n = 1, 2, . . . , N − 1, |
|
|
|
||||||||||
u0,n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1, 2, . . . , N 1. |
|
|
|
||||||||
uM,n = ϕ(a, yn), |
|
|
|
||||||||||||||
x 
y 
U
(N + 1)(M + 1)
N M
um,n
(p + 1) 
u 
(p)
um,n(p+1) = um(p+1) |
,n + um(p−) |
1,n + r um,n(p) |
+1 + um,n(p) −1 |
/ (2(r + 1)) , |
r = (hx/hy)2 
u 
um,n
ε
|u(m,np+1) − u(m,np) | < ε.
um,n(p+1) = |
ω |
(um(p+1) |
,n + um(p−) |
1,n + r(um,n(p) |
+1 + um,n(p) |
−1)) + (1 −ω)um,n(p) , |
2(r + 1) |
ω 
ω
ω 
u(0)
|
|
D : |
|
|
|
|
∂u |
= A |
∂2u |
+ |
∂2u |
. |
|
∂t |
|
∂x2 |
∂y2 |
|||
(t, x, y)
tn = nτ, |
n = 0, 1, 2, . . . |
|||||
xm = mh, |
m = 0, ±1, ±2, . . . |
|||||
y |
k |
n |
n |
± |
± |
2, . . . |
|
= kl, |
k = 0, |
1, |
|
||
u(t , xm, yk) = Um,k.
δUm,kn = λn · etw1mh · etw2kl.
|
|
|
|
|
∂u |
|
|
πx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
= sin πx, |
|
|
|
|
= 0, 5 · cos 2 |
|||
t=0 |
|
∂t t=0 |
||||||||
|
= 0, |
u + |
∂u |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
u x=0 |
∂x x=L = 0, 1 sin 2πt. |
|||||||||
um0 |
= sin πxm, |
|
m = 0, 1, 2, ..., M ; |
|
|||||||||
um1 |
− um0 |
= 0, 5 |
· |
cos |
πxm |
, |
m = 0, 1, ..., M ; |
||||||
|
|
|
2 |
||||||||||
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
un+1 |
= 0, |
|
= 0, 1, 2, ..., N |
− |
1; |
|
|||||||
0 |
|
|
|
n+1 |
n n+1 |
|
|
|
|
||||
n+1 |
|
uM |
− uM−1 |
|
|
|
n+1 |
|
|||||
uM |
|
+ |
|
|
h |
|
|
|
= 0, 1 · sin 2πt |
, n = 0, 1, ..., N − 1. |
|||
u0m = sin πxm.
u1m = u0m + τ · cos(0, 5πxm).
un0 +1 = 0.
unM+1 = unM+1−1 + h · 0.1 · sin(2πtn+1) /(1 + h).
h 
0, 05 
τ 
r · h
r 1 
r
|
|
B2 |
D2 |
F 2 |
r h |
τ |
|
= B2 D2 |
|
|
A3 |
t/x |
|
xm |
|
B3 |
C3 |
= D2 |
D3 |
= C3+$D$2 |
|
V 3 x = 1 |
|
|
|
t |
|
A4 
A5 
= $F $2 
A6 
= A5 + $F $2 
A24 |
B4 : V 4 |
= sin(3, 14159 B$3) |
B4 |
L4 |
|
= C4 + $F $2 cos(1, 5708 C$3) |
B5 |
|
|
C6 |
|
U 6 |
|
B6 |
= 0 |
V 5 |
|
= (U 6 + $D$2 0, 1sin(6, 28 $A5)/(1 + $D$2))
A6 : V 6 
t = 0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8 
1.0
