Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный индустриальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kurs_vysshei_matematiki_UP_Berkov_N.A._2007-2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

9.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5014 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

u(x, t)

ak bk

∞

kπx

= ϕ(x).

u(x, 0) =

ak sin

k=1

−ak sin

kπat

sin

kπx

∞

kπa

ut(x, t) = k=1

+ bk cos

kπa

kπx

∞

ut(x, 0) =

bk sin

= ψ(x).

k=1

ak ϕ(x) ψ(x)

2 l ak = l 0

2 bk = kπa

ak bk

kπa

l bk

(0, l)

ϕ(x) sin kπxl dx;

l		kπx
0	ψ(x) sin		dx.

		l

uk(x, t)

kπx

kπa

+ ϕk ,

uk(x, t) = Fk sin

sin

Fk =

, tg ϕk = ak/bk

ak2 + bk2

ωk

kπa

ϕk

kπx

Fk sin

uk(x, t)

(k + 1)

(0, l)

sin

kπx

= 0

x = 0,

, . . . ,

(k − 1)l

, l.

ω1

ωk(k 2)

Fk k

∂2u

2 ∂2u

= a

∂x

∂t

4hx

−

; l .

u t=0

x %0;

4 &

;

4h(l

= 0.

u t=0 = 0, u x=0 = u x=l

(u|x=0 = u|x=l = 0)

(ut|t=0 = 0)

	U
h	A
h
0		B	x
0	3l	l
	4	l

4h(l − x) sin kπx dx

2 sin 3kπ .

ak =

4hx sin kπx dx +

32h

3(kπ)

0	3l
	4

bk = 0

ψ(x) = 0

32h

kπat

kπx

∞ sin(3kπ/4)

u(x, t) =

cos

sin

3π2

k=1

32h

πx

πat

2πx

2πat

√

sin

cos

−

sin

cos

3π2

πx

3πat

5πx

5πat

9√

sin

cos

25√

sin

cos

+ · · ·

32h

πx

πat

u1(x, t) =

2√

sin

3π

32h

F1 =

√

x =

3π2

2πat

ω1 = πa/l

u2(x, t) = −

sin

2πx

sin

3π2

F2 = 8h/3π2

√

x = l/4

12h

3πx

3πat

u3(x, t) =

√

sin

cos

x = l/6

u(x, t) = X(x)T (t)

X(0) = X (l) = 0

T (t) = X (t) = −λ2. a2T (t) X(x)

X (x) + λ2X(x) = 0 T (t) + (λa)2T (t) = 0.

X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx,

s2 + λ2 = 0

±λi

X(0) = C1 = 0, X (l) = C2λ cos λl = 0. cos λl = 0

(2k + 1)π

λk = 2 , k = 0, 1, 2, . . .

= Ck sin((2k + 1)πx/(2l))

λk

sin

(2k + 1)πx

(0; l)

(2k + 1)πx

(2n + 1)πx

l/2,

k = n

sin

dx =

k = n .

s1,2 =

Xk(x) =

Tk(t) = Ak cos

(2k + 1)πat

+ Bk sin

(2k + 1)πat

uk(x, t) = Xk(x)Tk (t)

λk

sin

uk(x, t) = ak cos

(2k + 1)πat

+ bk sin

(2k

+ 1)πat

(2k + 1)πx

ak = AkCk bk = BkCk u(x, t)

	ak cos	(2k + 1)πat		(2k + 1)πat	sin		+ 1)πx
∞		(2k + 1)πat		(2k + 1)πat		(2k	+ 1)πx
u(x, t) = k=0		2l	+ bk sin	2l			2l

ak bk

∞

(2k + 1)πx

u|t=0 = k=0 ak sin

= ϕ(x),

∞

(2k + 1)πa

(2k + 1)πx

t=0 =

sin

= ψ(x).

(2k + 1)πx

ψ(x)

(2k + 1)πx

ϕ(x)

sin

(0; l)

ak =

ϕ(x) sin

(2k + 1)πx

dx;

bk =

ψ(x) sin (2k + 1)πx dx.

(2k + 1)πa

x = 0

t = 0

ak bk

			2P		l	(2k + 1)πx		8P l(−1)k
a		=			x sin		dx =		,
	k		lES					π2ES(2k + 1)2
						2l
				0

sin (2k + 1)πx 2l

ρ l

bk = 0.

u(x, t) =	8l	∞	(−1)k	cos (2k + 1)πat sin (2k + 1)πx .

	π2ES	k=0	(2k + 1)2		2l	2l
		k=0
				x = 0			u(x, t)\|x=0 =
0			x =	l		sin (2k+1)πl		=
0			x =	l		sin (2k+1)πl		=
= (−1)k							2l
= (−1)k

Θ(x, t)

u(x, t) = Θ(x, t)

Θ(x, t) = X(x)T (t) Θ(x, t)

u(x, t)

X(0) = 0

Θtt|x=l = −b2Θt|x=l, b2 = GJ0/J1

Θ(l, t) = X(l)T (t)

T (t)X(l) = −b2T (t)X (l).

T (t) = −a2λ2T (t),

T (t)X(l) = −b2T (t)X (l) −a2λ2T (t)X(l) =

= −b2T (t)X (l) b2X (l) − a2λ2X(l) = 0.

X(x)

X(0) = 0, b2X (l) − a2λ2X(l) = 0.

X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx. C1 C2

X(0) = 0 C1 = 0 X(x) = C2 sin λx,

b2X (l) − a2λ2X(l) = 0 λ(b2 cos λl − a2λ sin λl)C2 = 0b2X (l) − a2λ sin λl = 0 ctg λl = λa2/b2.

ctg λl = a2 λ, b2

λk

λk Xk(x) = Ck sin λkx.

		y=ctg(λ	l)
			y=	a2	λ
			y=	2	λ
				b
λ2	λ 1 0	π	2π		λ
λ2	λ 1 0	l	l		λ
	λ 1		λ2

	λk
Tk(t) = Ak cos λkat + Bk sin λkat	Θk(x, t)
λk

Θk(x, t) = Xk(x)Tk(t) = (ak cos λkat + bk sin λkat) sin λkx, ak = AkCk bk = BkCk

Θ(x, t) = ∞ (ak cos λkat + bk sin λkat) sin λkx

k=1

ak bk

Θ t=0 =

∞

λ b

sin λ x = 0

= 0,

k=1

∞

= α l

k = 1, 2, 3, . . .

Θ|t=0 =

ak sin λkx

(0; l)

sin λkx

cos λkx

sin(2λ

cos λkx cos λnxdx =

, k

= n

4λ

0, k = n k

∞ akλk cos λkx = αl .

k=1

ak cos λnx (0; l)

cos λkx

akλk

cos2(λkx)dx =

cos λkxdx,

α sin λkl

λk2 l

2 +

4λk

ak =

l sin(2λkl)

∞

Θ(x, t) =

ak cos λkt sin λkx,

k=1

ak λk

x [0, ∞)

t > 0

∂2u

∂t2 ∂2u

∂t2

x (0, +∞).

∂2u

u t=0 = x2

∂u

t=0

∂x2

∂t

∂2u

∂u

= 0

2 ∂

= 4 ∂x2

u t=0

∂t t=0

= a ∂x2

u t=0

= sin 2x

=0 x (−∞, +∞).

=x x (−∞, +∞).

∂u

∂t	t=0	= ex	u x=0	= 0

∂2u	=	∂2u	= 0	∂u	= ch x	∂u	= 0

∂t2
		∂x2 u t=0		∂t t=0		∂x x=0

x (0, +∞).

x [0, L]					u t=0 = 0,
					u t=0 = 0,
= 0,	u				=	0.
x=0			x=L
					u	= 0,
		∂u			t=0
= 0,					= 0.
= 0,		∂x			= 0.
x=0		∂x		x=L
		∂u			u t=0 = sin
= 0,					= 0.
= 0,		∂x			= 0.
x=0		∂x		x=L
					u t=0 = sin
					=
= 0,	u					0.
= 0,	u					0.
x=0			x=L

∂u

∂t t=0 = 100x,

∂u

∂t t=0 = 2x,

πx	∂u


2L,	∂t t=0	= 0,
πx	∂u


L ,	∂t t=0	= 0,

t			(n+1,m)
t	h
	h
n		τ
		τ
		(n,m-1)	(n,m)	(n,m+1)
2
1		x
n=0		x
n=0	m	M
m=0 1 2 3	m	M	(n-1,m)

0 x l t > 0

(t = 0)

(x = 0, x = l)

∂2u

= 0, 0 x l, t 0,

∂t2

− a2 ∂x2

∂u

u(0, x) = ϕ0(x),

ut(0, x) = ϕ1(x),

∂u

α0u

+ α1

∂x

= γ1(t),

x=0

∂x

β0u

+ β1

= γ2(t).

x=0

x=l

= nτ xm = mh n = 0, 1, 2, . . . , N

m = 0, 1, 2, . . . M = l/h

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 5014 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.09.2019564.8 Кб25kursovaya_rabota.docx
#
12.09.2019355.43 Кб28kursovaya_rabota.docx
#
09.11.2019358.91 Кб26kursovaya_rexin.doc
#
10.06.2015135.34 Кб37Kursovoy_proekt-1.docx
#
10.06.2015403.97 Кб54Kursovoy_proekt_1 (2).doc
#
10.06.20159.19 Mб68Kurs_vysshei_matematiki_UP_Berkov_N.A._2007-2.pdf
#
10.06.2015233.47 Кб24kuzmich-kursovaya2.doc
#
18.07.20191.33 Mб0Laboratornaya_211.docx
#
10.06.2015230.51 Кб4LAW122955_0_20120515_142138_52431.rtf
#
21.12.2018695.3 Кб5lek_DKB.doc
#
19.09.2019536.89 Кб4logistika_1.docx