Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный индустриальный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kurs_vysshei_matematiki_UP_Berkov_N.A._2007-2

.pdf
Скачиваний:
68
Добавлен:
10.06.2015
Размер:
9.19 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = x1 A(x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + y 2 dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F + Fy (ϕ

−

y ) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x, y)"1 + y 2 +

 

 

1 + y 2

(ϕ − y ) = 0 A(x, y1 + y 2

 

)

 

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x, y)y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)(1 + ϕ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x, y) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + y ϕ = 0 y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ϕ(x1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ y

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1 y

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = 0, y1 = x1 − 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

− dx y 1 + y 2

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + y

2

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

+

 

 

 

−

 

 

 

 

2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− √2

 

 

 

 

y = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

2

 

 

 

 

 

y2

 

 

1 + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

(√1 + y )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1 + y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+y

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

y

(1 + y 2) 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1 + y 2

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + y

) + yy = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = p(y),

 

 

 

 

 

 

y = p

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + p2 + yp

dp

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pdp

 

=

−

dy

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + p2

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln (1 + p2) = −2 ln y + C12,

 

 

 

 

 

 

 

1 + p2 = y21

,

 

 

p =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1y−

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ydy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"C12 − y2 = −x + C2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C12

−

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x − C2)2 + y2 = C12.

y(0) = 0 C1 = C2 y1 = x1 − 5

(0, 5)

(x − 5)2 + y2 = 25.

x1 1 + y 2

√y dx

0

y(0) = 0

x = C1(t − sin t), y = C1(1 − cos t).

C1 Fy x=x1 = 0

√ y = 0, y 1 + y 2

x=x1

 

 

 

y (x1) = 0

 

x = x1

x = x1, y = y1

 

 

 

x1

t = π

x1 = C1π

C1

=

 

 

π

 

 

x = xπ1 (t − sin t), y = xπ1 (1 − cos t).

v = x1 A(x, y, z)

 

 

 

1 + y 2

+ z 2dx ,

x0

"

 

 

 

z1 = ϕ(x1, y1)

[F − y Fy + (ϕx − z )Fz ]x=x1 = 0

[Fy + Fz ϕy]x=x1 = 0

1 + ϕxz = 0 y + ϕyz = 0

 

x = x1

1

=

y

=

z

 

x = x1,

 

ϕ

 

 

1

 

 

 

ϕ

−

 

 

 

x

 

y

 

 

 

(x1, y1, z1) z = ϕ(x, y)

z = ϕ(x, y)

z = ϕ(x, y) z = ψ(x, y)

x1 "

l = 1 + y 2 + z 2dx

x0

(x0, y0, z0) (x1, y1, z1)

z0 = ϕ(x0, y0) z1 = ψ(x0, y0) y z

z = ϕ(x, y) (x0, y0, z0) z = ψ(x, y) (x1, y1, z1)

x1

v = (y 2 + z 2 + 2yz)dx ,

x0

y(0) = 0, z(0) = 0 (x1, y1, z1) x = x1

z − y = 0, y − z = 0,

yIV − y = 0

y = C1chx + C2shx + C3 cos x + C4 sin x, z = C1chx + C2shx − C3 cos x − C4 sin x.

 

 

 

y(0) = 0, z(0) = 0

 

 

 

 

 

C1 + C3 = 0

C1 − C3 =

= 0

C1 = C3 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δy1 + Fz δz1 = 0

 

(F − y Fy − z Fz ) x=x1 δx1 + Fy x=x1

 

 

 

Fy

 

= 0

Fz

 

 

 

 

= 0,

 

δx1 = 0 δy1

δz1 x=x1

 

 

x=x1

 

 

 

 

 

Fy = 2y Fz = 2z

 

 

 

y (x1) = 0

z (x1) = 0

 

 

 

 

 

C2 ch x1 + C4 cos x1 = 0,

 

 

 

 

C2 ch x1 − C4 cos x1 = 0.

 

cos x1 = 0

π

C2 = C4 = 0

 

 

 

 

 

 

y = 0; z = 0

 

 

 

 

 

cos x1 = 0 x1 =

2

+ πn, n Z

C2 = 0, C4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = C4 sin x,

z = −C4 sin x.

v = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C4

v[y(x)] = x1 A(x, y)earctgy

 

 

 

A(x, y) = 0.

 

1 + y 2 dx,

x0

 

 

 

"

 

 

0

 

 

 

 

 

 

δv =

 

 

 

 

 

 

 

v[y(x)] = 1

(y 2 − 2xy) dx; y(0) = y (0) = 0;

0

 

 

 

 

 

 

 

y(1) =

1

;

y (1)

.

 

120

0, 5

. . .

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

A

B = A

A

A+B

A · B

•

•

R ·S R + S

A + B = B + A, A · B = B · A,

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C,

A · (B · C) = (A · B) · C = A · B · C,

A · (B + C) = A · B + A · C,

 

 

A + U = U,

A · U = A,

 

 

A + V = A,

A · V = V,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A + A = U,

A · A = V,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A + B = A · B,

A · B = A + B.

 

A · B = V

 

 

 

 

 

 

A

B

 

 

 

 

 

 

 

A1, A2, . . . , An

n

Ai = U.

i=1

¯

A A

n

A

n A m

A

A

P (A) = MN .

 

(N = 10)

(M = 3)

A

P (A)

0 P (A) 1

P (U ) = 1 P (V ) = 0

A B

P (A + B) = P (A) + P (B).

A L

 

 

 

B N

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P (A) =

M

, P (B) =

L

, P (A + B) =

M + L

 

 

N

N

N

A B

P (A + B) = P (A) + P (B).

A B

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A · B).

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

L

 

N

M + L − K

 

M

 

L

 

K

· K

 

 

 

 

P (A + B) =

=

+

 

= P (A) + P (B)

 

P (A

 

B).

N

N

N

− N

−

·

 

 

 

 

 

 

A

A

B

A

A B

A B P (A/B) PB (A)

A B P (A/B) = PB (A)

A B

B

N B L A B K

P (A/B) = KL ,

P (B) = NL ,

P (AB) = KN .

P (AB) = P (B) P (A/B).

P(A1 · A2 · · · Ak) = P (A1) · P (A2/A1) · P (A3/A1 · A2) · · ·

·· · P (Ak/A1 · A2 · · · Ak−1).

P (A/B) P (A/B)

P (A/B) = P (A/B) = P (A) ,

A

B

 

A B

P (A)

P (AB) = P (A) · P (B) ,

k

 

k

0

0

P i=1 Ai

= i=1 P (Ai).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности