39

3.ДОБРОТНОСТЬ

3.1.Добротность колебательной системы

Добротность произвольной колебательной системы есть безразмерная величина Q, определяемая формулой

где ω − частота колебаний; W – запасенная системой энергия; Р – усредненная по времени мощность потерь. Из определения (3.1) получается, в частности, известная формула

для добротности последовательного контура на его резонансной частоте. Если колебательная система совершает свободные колебания, то их амплитуда убывает во времени. Для описания затухающих гармонических

колебаний удобно использовать комплексную частоту

В этом случае зависимость от времени вещественной колеблющейся величины A(t) (ток, напряжение, деформация и т. д.) описывается формулой

где A0 = |A0| ei arg A0 − комплексная амплитуда колебаний (начальная). Очевидно, что в случае затухающих колебаний частота ω в формуле (3.1) должна быть заменена на ω′.

Установим связь добротности Q с вещественной и мнимой частью комплексной частоты. Как известно, энергия, запасенная любой колебательной системой, пропорциональна квадрату модуля амплитуды колебаний. Поэтому, используя формулу (3.4), запасенную энергию можно записать в виде

где коэффициент α − константа, зависящая только от типа и параметров колебательной системы*.

*Например, в случае колебательного контура, когда A(t) есть ток, коэффициент

α=L/2, где L – индуктивность.

Подставляя (3.5) и (3.6) в определение (3.1), получаем искомое соотношение

называют собственной добротностью колебательной системы, а величину

называют внешней добротностью. Собственная добротность Q0 характеризует свойства уединенной колебательной системы, а внешняя добротность Qe характеризует величину связи колебательной системы с внешним окружением. Величину Q, описываемую формулой (3.9), называют нагруженной добротностью.

Формула (3.1) есть общее определение добротности, применимое к любой колебательной системе на любой частоте. Однако в некоторых случаях приходится иметь дело с двухполюсником, являющимся «черным ящиком», о котором известно только то, что его входное комплексное сопротивление описывается функцией

а обратная ему величина – входная комплексная проводимость − функцией

Величину X(ω) называют реактивным сопротивлением, а величину B(ω) − реактивной проводимостью. Обе эти величины называют реактансами.

Знак перед мнимой единицей i в формулах (3.12), (3.13) выбран в соответствии со знаком в формуле (1.1).

41

Реактансы могут на некоторых частотах обращаться в нуль. Если на частоте ω0 обращается в нуль X, то двухполюсник на этой частоте проявляет свойства последовательного колебательного контура, если же в нуль обращается B, то − параллельного.

Добротность двухполюсника на резонансной частоте ω0 определяют формулой

называется параметром крутизны реактивного сопротивления, а величина

называется параметром крутизны реактивной проводимости. Формулы (3.14)–(3.15) получаются из формулы (3.7) и резонансных

условий Z(ω′−iω″) = 0 и Y(ω′−iω″) = 0. Не трудно убедиться, что для последовательного колебательного контура с входным сопротивлением

и для параллельного колебательного контура с входной проводимостью

выражения (3.14) и (3.15) дают правильную формулу (3.2) и потому согласуются с общим определением (3.1).

Термин «добротность» используется не только для описания колебательных систем, но и для описания линий передачи. Добротностью линии передачи называют добротность резонатора СВЧ, образованного из отрезка линии передачи.

Добротность линии передачи Q в случае гармонических колебаний с вещественной частотой ω связана с волновым числом kz бегущей волны формулой

42

Для доказательства этой формулы рассмотрим отрезок линии длиною l. За период колебания Т фронты прямой и обратной волны пройдут путь vT, дважды претерпевая отражения на концах, и возвратятся на исходное место. Этот путь будет равен 2l. Поэтому имеем

Из формул (3.21), (3.22) получаем закон убывания запасенной энергии

Подставляя (3.23) и (3.6) в определение (3.1), получаем формулу (3.20). Мощность потерь в линии передачи

где Pd – мощность потерь в диэлектрическом заполнении линии, а Pc – мощность потерь в проводниках линии передачи. Тогда, согласно (3.1), обратную величину добротности линии можно представить в виде суммы

называют добротностью диэлектрического заполнения линии, а величину

называют добротностью проводников линии.

Добротность Qd есть усредненная характеристика материалов, заполняющих линию передачи. В однородной линии величина Qd не зависит ни от конструкции, ни от размеров линии, а зависит только от тангенсов угла диэлектрических и магнитных потерь. В случае, когда однородное диэлектри-

Равенство (3.28) получается из формул (1.20), (1.38) и (3.20) и предположения о малости тангенса угла диэлектрических потерь.