160
kL = |
W12L |
, |
(7.68) |
|
(W11L+W11C ) (W22L+W22C ) |
||||
|
|
|
||
kC = |
W12C |
. |
(7.69) |
|
(W11L +W11C ) (W22L +W22C ) |
||||
|
|
|
Из этих определений, в частности, следует, что коэффициенты kL и kC для контуров с внутренней индуктивной и внешней емкостной связью могут быть вычислены на произвольной частоте ω по формулам
kL = |
Lm |
|
2 |
, |
|
|
(7.70) |
|
|
L1L2 (1 + ω2ω−12 ) (1 + ω2ω2−2 ) |
|
|
|
||||
k C = |
− Cm |
|
|
2 |
|
. |
(7.71) |
|
(C1+Cm) (C2 |
+Cm) |
(1 + ω2 |
ω−2) (1 |
+ ω2 |
||||
|
ω−2) |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Видно, что при Lm > 0 коэффициент kL всегда положителен. Он убывает с ростом частоты ω. Напротив, коэффициент kС всегда отрицателен и возрастает по модулю с ростом частоты. Поэтому всегда существует частота взаимной компенсации индуктивной и емкостной связи ωz , на которой сумма kL + kC обращается в нуль, а вместе с ней, согласно (7.24), обращается в нуль и коэффициент k. Не трудно проверить, что частота ωz строго совпадает с частотой нуля коэффициента передачи напряжения ωp, значение которой задается формулой (7.43). В зависимости от величины отношения Lm /Cm частота ωz может быть как выше, так и ниже частот ω1 и ω2.
Таким образом, согласно формулам (7.68)–(7.69) коэффициенты индуктивной связи kL и емкостной связи kC есть отношения амплитуд колеблющейся части соответственно магнитной и электрической энергии, запасаемой резонаторами совместно, к среднегеометрической величине усредненных по времени полных энергий, запасаемых каждым резонатором в отдельности. Зная коэффициенты kL и kC , по формуле сложения (7.24) можно вычислить коэффициент связи k.
7.7. Энергия связанных МПР
Рассмотрим два параллельных микрополосковых резонатора. Ось координат z направим параллельно резонаторам. В общем случае погонные емкости и индуктивности проводников будут функциями от z. Пусть вход
161
первого резонатора расположен в точке z1, а вход второго – в точке z2. Будем полагать, что напряжения на проводниках в этих точках принимают значения
u1(z1) = U1, u2(z2) = U2. |
(7.72) |
Запишем усредненную электрическую и магнитную энергию поля СВЧ связанных резонаторов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dz + 14 ∫ (C2+ Cm ) |
|
u2 |
|
2 dz − 12 ∫ Cm Re (u1*u2 )dz, |
(7.73) |
|||||
|
WC = 14 ∫ (C1+ Cm ) |
|
u1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 dz + 14 ∫ L2 |
|
i2 |
|
2 dz + 12 ∫ Lm Re(i1*i2 ) dz, |
(7.74) |
|||||||||
|
WL = 14 ∫ L1 |
|
i1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
где интегрирование производится по области существования токов и напряжений.
Прежде чем выделять в выражениях (7.73) и (7.74) энергии, запасаемые каждым резонатором в отдельности, и энергии, запасаемые резонаторами совместно, преобразуем формулу (7.74) исходя из следующего. В режиме бегущей волны напряжение на любом из проводников связанных линий пропорционально определенной линейной комбинации токов на обоих проводниках. Поэтому напряжениям u1 и u2, согласно телеграфным уравнениям (2.3), можно сопоставить некие сопряженные токи j1 и j2, которые связаны с токами на проводниках i1 и i2, унитарным преобразованием
i |
=[ j |
− (L |
/ L ) j |
2 |
]/ 1 |
− L2 |
(L L |
) , |
|
|||||
|
1 |
1 |
m |
1 |
|
|
|
m |
|
1 |
2 |
(7.75) |
||
i |
|
=[−(L / L ) j + j |
|
]/ 1 − L2 |
|
(L L ) . |
||||||||
2 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
m |
2 1 |
|
|
|
m |
|
1 |
2 |
|
|||
Выражение (7.74) после подстановки в него формул (7.75) принимает
вид
|
|
|
|
|
|
2 dz + 14 ∫ L2 |
|
j2 |
|
2 dz − 12 ∫ Lm Re ( j1* j2 ) dz . |
(7.76) |
|
WL = 14 ∫ L1 |
|
j1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Напряжения и токи на проводниках, в силу линейности задачи о возбуждении колебаний в связанных резонаторах, можно представить в виде
u1 = u11(z)U1 + u12 (z)U2 , j1 = j11(z)U1 |
+ j12 (z)U2 , |
(7.77) |
|
u2 = u21(z)U1 + u22 (z)U2 , j2 = j21(z)U1 + j22 (z)U2. |
|||
|
|||
Из (7.72) следует, что |
|
|
|
u11(z1) =1, u12 (z1) = 0, u21(z2 ) = 0, |
u22 (z2 ) =1. |
(7.78) |
|
162
Подставляя (7.77) в (7.73) и (7.76), получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
— |
— |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W C |
= W 11C + W22C + W12C , |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
— |
— |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W L |
= W |
11L + W22L + W12L , |
|
|||||||||||||||||||||||
где искомые энергии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
U1 |
|
2 Re∫ [(C1+ Cm ) |
|
u11 |
|
|
|
2 + (C2+ Cm ) |
|
u21 |
|
2 − 2Cmu11* u21]dz , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W11C = 14 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Re∫ [(C2+Cm ) |
|
u22 |
|
2 + (C1+Cm ) |
|
|
u12 |
|
|
|
2 − 2Cmu12* u22]dz , |
(7.79) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
W22C = 14 |
|
|
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
W12C = 12 Re (U1*U2 ∫ [(C1+Cm)u11* u12+(C2+Cm)u21* u22 −Cm(u11* u22+ u21* u12)]dz), |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
U |
|
|
|
2 Re |
|
[L |
|
|
j |
|
2 + L |
|
j |
|
|
2 − 2L j* j |
|
|
|
|
]dz, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11L |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
11 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
m 11 |
21 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Re ∫ |
[L1 |
|
j12 |
|
2 + L2 |
|
|
j22 |
|
2 − 2Lm j12* |
j22 ]dz, |
(7.80) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
W22L = 14 |
|
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(U1*U2 ∫ [L1 j11* j12 + L2 j21* j22 − Lm ( j11* j22 + j21* j12 )]dz). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W12L = 12 Re |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Усредненным энергиям W12C , W12L соответствуютколеблющиесяэнергии |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[(C1+Cm)u11u12+(C2+Cm)u21u22−Cm(u11u22+u21u12 )]dz), (7.81) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W12C = 12 Re (U1U2 ∫ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
= 12 Re (U1U2 ∫ |
[L1 j11 j12 + L2 j21 j22 −Lm ( j11 j22 + j21 j12)]dz). |
(7.82) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
W12L |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для нахождения функций uij(z) и ji j(z) воспользуемся линейными свойствами связанных колебаний резонаторов. Согласно (7.77) имеем
u11(z) = u1(z) |
|
U1 =1, U 2 =0 , |
j11(z) = j1(z) |
|
|
U1 =1, U 2 =0 , |
|||
u12 (z) = u1(z) |
|
U1 =0, U 2 =1, |
j12 (z) = j1(z) |
|
|
U1 =0, U 2 =1, |
|||
|
|
||||||||
u21(z) = u2 (z) |
|
U1 =1, U 2 =0 , j21(z) = j2 (z) |
|
(7.83) |
|||||
|
|
U1 =1, U 2 =0 , |
|||||||
u22 (z) = u2 (z) |
|
U1 =0, U 2 =1, j22 (z) = j2 (z) |
|
U1 =0, U 2 =1. |
|||||
|
|
||||||||
Таким образом, вычислив распределение токов и напряжений на проводниках связанных резонаторов для двух способов их возбуждения (U1 = 1, U2 = 0 и U1 = 0, U2 = 1), можно по формулам (7.79)−(7.83) рассчитать все энергии, а затем по формулам (7.68)−(7.69) вычислить коэффициенты связи.
163
7.8. Приближение усредненных волн
Строгий расчет энергий (7.79)–(7.82) с использованием точных функций (7.77) достаточно сложен и требует большого объема кропотливых вычислений. Однако расчет можно значительно упростить и получить относительно компактные формулы, описывающие все основные свойства коэффициентов связи, если использовать приближение усредненных волн.
В приближении усредненных волн все связанные волны в резонаторах аппроксимируют некими усредненными волнами, имеющими отличные от нуля напряжения только на проводнике одного из резонаторов.
Электрические параметры усредненных волн определим следующим образом. Начнем со случая, когда напряжение на входе первого резонатора U1 ≠0, а напряжение на входе второго резонатора U2 =0. Тогда на проводнике первого резонатора u1(z) ≠0 и j1(z) ≠0. Поэтому следует считать, что на проводнике второго резонатора u2(z) =0 и j2(z) =0.
Последние два равенства эквивалентны тому, что проводник второго резонатора заземлен по всей его длине. Отсюда следует, что погонная емкость проводника первого резонатора относительно земли вместе с заземленным проводником второго резонатора равна C1+Cm , а погонная индуктивность равна L1. Этот же результат получается и из формул (7.73), (7.76) после обнуления напряжения и тока на проводнике второго резонатора.
Подставляя в (2.17), (2.18) значения погонных параметров, получаем относительную диэлектрическую проницаемость и волновое сопротивление для усредненной волны в первом резонаторе:
ε |
=c2L (C +C |
m |
), |
Z |
= L |
(C + C |
m |
) . |
(7.84) |
1a |
1 1 |
|
1a |
1 |
1 |
|
|
Аналогичным образом можно получить электрические параметры для усредненной волны во втором резонаторе. Они имеют вид
ε |
2a |
= c2L (C |
2 |
+ C |
m |
), |
Z |
2a |
= L |
(C |
2 |
+ C |
m |
) . |
(7.85) |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Распространение усредненных волн лишь в одном из резонаторов означает, что
Индекс a у параметров ε1a и Z1a от англ. average – усредненный.