74
Подставляя в последнее равенство выражения |
|
|||||
|
U = Z01 2 (a + b) , |
(4.86) |
||||
|
I = Z0−1 2 (a − b), |
|||||
|
|
|||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
b =[(Z−Z0) / (Z+Z0)] a. |
(4.87) |
||||
Здесь Z0 – нормирующее волновое сопротивление для матриц SA и SZ. Из |
||||||
формулы (4.87) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
SZ =(Z−Z0) / (Z+Z0). |
(4.88) |
||||
Подставляя (4.88) в выражение (4.85), получаем искомую формулу |
||||||
SB |
= S App + |
|
1 |
|
S ApiSipA . |
(4.89) |
|
Z + Z0 |
|
||||
|
|
|
− SiiA |
|
||
|
|
|
Z − Z0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Из (4.89), в частности, следует, что в режиме короткого замыкания (Z =0) на i-м входе
SB = S App − |
|
|
1 |
S ApiSipA , |
(4.90) |
|
|
+ SiiA |
|||
1 |
|
|
|||
в режиме холостого хода (Z =∞) |
|
|
|
||
SB = S App + |
|
1 |
S ApiSipA , |
(4.91) |
|
|
− SiiA |
||||
1 |
|
|
|||
в режиме согласованной нагрузки (Z =Z0) |
|
|
|||
SB = S App . |
|
(4.92) |
|||
4.6. Расчет ABCD-матрицы встречно включенного отрезка пары связанных микрополосковых линий
Рассчитаем ABCD-матрицу четырехполюсника, образованного встречным подключением отрезка симметричной пары связанных микрополосковых линий (см. рис. 4.13). Такой четырехполюсник является элементарным звеном полосно-пропускающего фильтра на параллельно связанных микрополосковых резонаторах. В фильтре эти звенья включены каскадно.
75
Uвх, I вх |
|
|
1 |
|
Uвых, I вых |
2 |
|
|
0 |
l |
z |
Рис. 4.13. Встречно включенный отрезок пары связанных линий
Обратимся к ABCD-параметрам n-проводного отрезка связанных линий передачи, которые выражаются формулой (4.51). В рассматриваемом случае матрицы напряжений, токов и электрических длин, фигурирующие в (4.51), имеют вид
|
|
|
|
|
U |
= |
Ze |
|
Zo |
|
, |
I = |
1 1 |
, |
θ = |
θe 0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(4.93) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ze |
Zo |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Подставляя (4.93) в (4.51), получаем ABCD-матрицу восьмиполюсника |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.94) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C D = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosθe +cosθo |
|
|
|
cosθe −cosθo |
|
|
Ze sinθe+Zosinθo |
|
|
|
Zesinθe−Zosinθo |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
||||||
|
|
|
cosθ |
|
|
|
|
|
|
cosθ |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
sinθ |
|
|
|
|
|
Z |
|
sinθ |
|
|
sinθ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
e |
−cosθ |
o |
|
|
|
|
e |
+cosθ |
o |
|
|
|
e |
sinθ |
−Z |
o |
o |
|
|
|
e |
e |
+Z |
o |
o |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ze−1sinθe+Zo−1sinθo |
|
Ze−1sinθe −Zo−1sinθo |
|
|
|
cos θe +cos θo |
|
|
|
|
|
|
cosθe −cosθo |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos θe −cos θo |
|
|
|
|
|
|
cosθe +cosθo |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Ze sinθe−Zo sinθo |
|
Ze |
sinθe +Zo sinθo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Эта матрица связывает векторы напряжений и токов на входе и выходе отрезка формулой
|
вх |
A B |
вых |
(4.95) |
U |
|
= U |
. |
|
Iвх |
C D Iвых |
|
||
Матричное равенство (4.95) означает краткую запись четырех равенств
U вх = A U вых + A U вых + B |
|
I вых + B |
|
I |
вых , |
|
(4.96) |
|||||||||||
1 |
|
11 |
1 |
12 |
2 |
11 |
|
1 |
12 |
|
|
|
2 |
|
|
|||
U вх = A U вых + A U вых + B |
21 |
I вых + B |
22 |
I вых |
, |
(4.97) |
||||||||||||
2 |
|
21 |
1 |
|
22 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
||||||
I вх = C U вых + C |
U вых + D |
|
I вых + D |
|
|
I вых , |
(4.98) |
|||||||||||
1 |
11 |
1 |
12 |
2 |
11 |
|
1 |
12 |
|
|
2 |
|
|
|||||
I вх = C |
U вых + C |
U вых + D |
|
I |
вых + D |
|
|
|
I вых . |
(4.99) |
||||||||
2 |
|
21 |
1 |
|
22 |
2 |
|
21 |
1 |
22 |
2 |
|
|
|||||
76
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2вх = I1вых = 0 , |
|
|
|
|
(4.100) |
||
из (4.97), (4.99) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U вых = − (C |
22 |
/ C |
21 |
) U вых − (D |
22 |
/ C |
21 |
) I вых . |
(4.101) |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
Подставим (4.100) |
и (4.101) в (4.96) и (4.98): |
|
|
|
||||||
U вх =[A |
− A C |
22 |
/C |
21 |
]U вых +[B |
− A D |
/ C |
21 |
] I вых, |
||||
1 |
12 |
11 |
|
2 |
12 |
11 |
22 |
|
2 |
||||
I вх =[C |
− C C |
22 |
/C |
21 |
]U вых +[D |
− C |
D |
/C |
21 |
] I вых. |
|||
1 |
12 |
11 |
|
2 |
12 |
11 |
22 |
|
|
2 |
|||
Отсюда получаем, что ABCD-параметры четырехполюсника связаны с ABCD-параметрами отрезка пары связанных линий формулой
A B |
A |
− A C |
|
/C |
|
B |
− A D |
|
/C |
|
|
|
(4.102) |
||
|
|
= |
12 |
11 |
22 |
/C |
21 |
12 |
11 |
22 |
|
21 |
. |
||
C D |
C |
− C C |
22 |
21 |
D |
− C D /C |
21 |
|
|
||||||
|
|
|
12 |
11 |
|
12 |
11 |
22 |
|
|
|
|
|||
Подставим в (4.102) значения ABCD-параметров (4.94). В результате получаем искомую ABCD-матрицу четырехполюсника
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Zectgθe + Zoctgθo |
i |
ZeZo (sin−1θe sin−1θo+ ctgθe ctgθo ) − (Ze2+Zo2 ) |
2 |
|
(4.103) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||
= Zesin |
θe |
−Zosin |
θo |
|
|
|
Ze sin |
θe |
− Zo sin |
θo |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
−2i |
|
|
|
|
|
|
|
Ze ctgθe + Zo ctgθo |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
sin |
−1θ |
|
−Z |
|
sin |
−1θ |
|
|
|
|
Z |
|
sin−1θ |
|
− Z |
|
sin−1θ |
|
|
|
|
||||
Z |
e |
e |
o |
o |
|
|
|
e |
e |
o |
o |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Формула (4.103) будет использоваться в дальнейшем при синтезе микрополосковых фильтров.
Контрольные вопросы
29.В каких единицах измеряются нормированные напряжения?
30.Какую размерность имеют элементы Z-, Y-, S- и T-матриц?
31.При использовании каких матриц порты многополюсника подразделяют на входы и выходы?
32.При использовании каких матриц все порты многополюсника именуются входами?
77
33.У какого многополюсника не меняется S-матрица при транспониро-
вании?
34.Сколько независимых уравнений для токов и напряжений можно записать для точки соединения n проводников?
35.Сколько независимых элементов имеют матрицы взаимного симметричного четырехполюсника?