43
Добротность Qс есть комплексная характеристика материала проводников и их конфигурации. Она обратно пропорциональна толщине скинслоя материала проводника
= 2 (σωμ 0μ r ) , |
(3.29) |
то есть Qс возрастает с увеличением проводимости проводника σ и частоты ω. Отметим, что толщина скин-слоя меди на частоте 1 ГГц составляет Cu = 2.09 мкм. С увеличением поперечных размеров линии передачи добротность проводников растет.
3.2. Плоский волновод
Для изучения влияния конечной проводимости проводников σ на распространение поперечных и квазипоперечных электромагнитных волн рассмотрим плоский волновод, поперечное сечение которого изображено на рис. 3.1.
y |
3 |
2 |
|
|
|
||
h/2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
W |
x |
−h/2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Рис. 3.1. Поперечное сечение плоского волновода: |
|
||
1 – диэлектрическое заполнение; 2 – проводник; 3 – магнитная стенка |
|||
Волновод содержит два плоских горизонтальных бесконечно толстых проводника 2 с конечной проводимостью σ, ограничивающих электромагнитное поле в вертикальном направлении. В горизонтальном направлении поле ограничено двумя плоскими вертикальными магнитными стенками 3, на поверхности которых обращаются в нуль тангенциальные составляющие магнитного поля. Пространство, ограниченное проводниками и магнитными стенками заполнено немагнитным материалом 1 с диэлектрической проницаемостью εr .
44
Таким образом, плоский волновод есть не реальная линия передачи, используемая в технике СВЧ, а всего лишь упрощенная математическая модель. Эту модель часто используют для упрощенного описания отражения волн на нерегулярностях полосковых и микрополосковых линий передачи. Аппроксимацию полосковой или микрополосковой линии передачи плоским волноводом с тем же волновым сопротивлением и той же фазовой скоростью называют моделью Олинера.
Будем рассматривать бегущую гармоническую волну, сопровождаемую напряжением U на верхнем проводнике относительно нижнего проводника. Очевидно, что такая волна будет иметь поперечную составляющую электрического поля Ey . Эта составляющая направлена нормально к поверхности проводника.
Поэтому в случае идеального проводника на его поверхности согласно формуле (1.34) должны возникать поверхностные заряды ρs. Эти заряды, перемещаясь с фазовой скоростью v вдоль оси z, будут создавать поверхностные продольные токи Jz. Их направления на верхнем и нижнем проводниках будут противоположными.
В рассматриваемом случае, то есть при конечной проводимости проводника, вместо поверхностных токов Jz потекут объемные токи jz. В свою очередь, объемные продольные токи jz , согласно закону Ома (1.13), будут сопровождаться продольной составляющей электрического поля Ez, имеющей противоположные знаки на верхней и нижней половинах волновода.
Таким образом, конечная проводимость проводников приводит к появлению у Т-волны продольной составляющей электрического поля. Поэтому начнем решать уравнение Гельмгольца (1.23) для продольной составляющей электрического поля.
Так как волновод имеет горизонтальную плоскость симметрии, то достаточно записать решение лишь для верхней половины волновода (y ≥0). Учтем, что зависимость Ez от координаты x должна иметь вид стоячей волны из-за отражения на вертикальных магнитных стенках. Зависимость от координаты y в области диэлектрического заполнения (0 ≤y ≤h/2) также должна иметь вид стоячей волны из-за симметричного расположения диэлектрика между двумя одинаковыми горизонтальными проводниками. Более того, она должна описываться нечетной функцией. Зависимость от координаты y в области верхнего проводника (h/2 ≤y <∞) должна описываться бегущей вол-
45
ной, так как толщина проводника бесконечна и волне нет от чего отразиться. Итак, уравнение (1.23) имеет решение
|
|
|
(1) |
|
|
ik z z |
при 0 |
≤ y ≤ h 2 , |
|
||
|
sin k y |
|
y [X1 cos kx x + X 2 sin kx x] e |
|
(3.30) |
||||||
Ez = |
|
(2) |
y |
|
|
ik z z |
|
|
|||
|
e |
ik y |
[X3 cos kx x + X 4 sin kx x] e |
при h |
2 ≤ y < ∞, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k y(1) = |
k02εr − kx2 − kz2 ; |
|
|
|
|
(3.31) |
|
|
|
|
k y(2) = |
k02iσ/(ε0ω) − kx2 − kz2 |
≈ (i +1) |
; |
(3.32) |
|||
– толщина скин-слоя проводника, определяемая формулой (3.29). В выражении (3.32) была учтена высокая проводимость проводника σ.
Требуя выполнение граничного условия (1.32) для Ez при y =h/2, исключаем в (3.30) два неизвестных параметра:
sin ky(1) y [X1 cos kx x + X 2 sin kx x] eik z z |
при y ≤ 1 h, |
||||
|
|
|
|
2 |
|
Ez = |
|
h |
|
(3.33) |
|
eik y(2) ( y |
−h/2) sin k y(1) |
[X1 cos kx x + X 2 sin kx x] eik z z |
при y ≥ 1 h. |
||
|
|||||
|
2 |
|
2 |
||
Подставляя выражение (3.33) в равенство (1.27), получаем
|
|
|
|
−iωε0εr kx sin ky(1) y |
[X1 sin kx x − X2 cos kx x] |
при y ≤ 1 h, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
k 2ε |
|
− k 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
2 |
|||
H |
|
|
|
|
0 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
|
|
ik y(2) |
( y −h/2) |
|
(1) h |
|
|
(3.34) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
σkx e |
|
|
|
|
sin ky |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[X1 sin kx x − X2 cos kx x] при y ≥ 1 h. |
||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
k0 iσ/(ε0ω) |
− kz |
|
|
|
|
|
||||
В этой формуле и в последующих формулах мы для краткости опускаем зависимость от координаты z.
Напряженность Hy является тангенциальной составляющей на поверхности магнитной стенки. Поэтому должны выполняться граничные условия
Hy x =0 = 0, Hy x =W = 0. |
(3.35) |
Отсюда находим |
|
X2 = 0, kx = πn/W (n = 0, 1, 2, …). |
(3.36) |
|
|
|
|
|
46 |
|
|
Подставляя (3.36) в выражения (3.33) и (3.35) и ограничиваясь случаем |
|||||||
n = 0, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 sin k y(1) y |
|
|
|
при y ≤ 1 h, |
|
E |
|
|
|
|
|
|
2 |
z |
= |
h |
|
ik (2) |
( y −h/2) |
(3.37) |
|
|
X1 sin k y(1) |
e |
при y ≥ 1 h, |
||||
|
|
|
y |
|
|||
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Hy =0. |
|
|
|
|
(3.38) |
||
После подстановки (3.37) в (1.26), (1.28) и (1.29) получаем остальные поперечные составляющие волны
|
− iε0εr ω |
|
|
(1) |
|||
|
|
(1) |
X1 cos ky |
||||
|
ky |
|
|
|
|
||
H x = |
iσ |
|
|
(1) h |
|
ik |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
X1 sin ky |
|
e |
|
|
(2) |
|
2 |
|
||||
ky |
|
|
|
|
|
||
y
y(2) ( y −h/2)
при y ≤ 12 h,
(3.39)
при y ≥ 12 h,
ik |
X1 cos ky(1) y |
||
|
z |
|
|
(1) |
|||
ky |
|
||
Ey = |
− kz |
X1 sin ky(1) h eik y(2) |
|
|
|||
|
(2) |
2 |
|
ky |
|||
при y ≤ 12 h,
(3.40)
( y −h/2) при y ≥ 12 h,
Ex =0. |
(3.41) |
Составляющая Hx является тангенциальной составляющей на поверхности проводника. Поэтому она должна удовлетворять граничному условию (1.33) при y = h/2. Отсюда получаем дисперсионное уравнение
(1) h |
|
ε0 |
εr ωky(2) |
|
|
|
tg ky |
|
+ |
|
|
= 0 . |
(3.42) |
2 |
|
σ ky(1) |
||||
|
|
|
|
|
||
Будем искать квази-Т-волну, полагая
1>>k0 h >> k0 .
В этом случае k y(1)h/2 <<1 и уравнение (3.42) упрощается:
(1) |
h |
|
ε0 |
εr ωky(2) |
|
ky |
|
+ |
|
|
= 0 . |
2 |
|
σ ky(1) |
|||
|
|
|
|
(3.43)
(3.44)
Подставляя выражения (3.31) и (3.32) в уравнение (3.44), получаем
kz = k0 |
|
+ (i +1) |
|
(3.45) |
εr 1 |
. |
|||
|
|
|
2h |
|
47
Отсюда по формуле (3.20) находим искомую добротность проводников для квази-Т-волны в плоском волноводе
Qc = h/ . |
(3.46) |
Приступим к вычислению волнового сопротивления. Полагая, что напряжение между верхним и нижним проводником равно U, из выражения (3.40) находим значение константы
k (1)
X1 = iU y . (3.47) h kz
Подставляя (3.47) в выражение (3.37), находим продольную составляющую электрического поля внутри верхнего проводника
Ez = i |
U k y(1)2 |
e |
ik (2) |
( y −h/2) |
. |
(3.48) |
|
|
|
y |
|
||||
2 kz |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Согласно закону (1.13) внутри проводника возникают объемные токи
jz = iσ |
U ky(1)2 |
e |
ik (2) |
|
|
|
y |
||
2 kz |
|
|||
|
|
|
||
( y −h/2) . |
(3.49) |
Интегрируя (3.49) по всей глубине проводника и учитывая (3.32), находим поверхностный ток
∞ |
|
U |
(1)2 |
|
|
J z = ∫ |
jz dy = −σ |
ky |
. |
||
2 |
kz ky(2) |
||||
h/ 2 |
|
|
Учитывая выражения (3.31), (3.32) и (3.45), получаем
J z = |
1 |
|
|
U |
, |
|
|
|
|||
|
h + (i +1) |
2 |
|
Zc |
|
|
|
|
|
||
(3.50)
(3.51)
где Zc – характеристическое сопротивление, определяемое формулой (1.45). Полный ток I получаем интегрированием (3.51) по ширине проводника
W |
W |
|
|
U |
|
|
I = ∫ J z dx = |
|
|
. |
(3.52) |
||
|
|
|
||||
0 |
h + (i +1) |
2 |
|
Zc |
|
|
|
|
|
|
|
||