Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Межрегианальная Академия Управления Персоналом

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум з вищої математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

10.

∫ ydx + xdy, де L − чверть дуги кола

x = Rcost , y = Rsint, що пробіга-

ється проти руху годинникової стрілки, 0 ≤ t ≤ π .

11.

∫ ydx − xdy, де L − дуга еліпса x = acost,

y = bsint , 0 ≤ t ≤

π.

12.

∫ yz dx + z R2 − y2 dy + xy dz,

де L − дуга кривої

x = Rcost, y =Rsint,

z =

, що пробігається від точки перетину лінії з площиною z = 0 до

2π

точки її перетину з площиною z = a.

13.

∫ y2 dx + 2xydy, де L − коло x = acost, y = asint , що пробігається проти

руху годинникової стрілки.

14.

∫ yz dx + xz dy + yx dz,

де L − дуга гвинтової лінії

x = acost, y = asint ,

z = bt при 0 ≤ t ≤π .

15.

∫xdy − ydx, де L − дуга астроїди x = acos3 t,

y = asin3 t від точки (a;0)

до точки (0;a ).

16.

∫xdy − ydx, по петлі декартового листа

x =

3at

y =

3at2

(за годин-

1+ t3

никовою стрілкою).

17.

∫(x2 + y2 )dx + xdy,

де

L −

дуга

кривої

x = 3(2cost − cos2t),

y = 3(2sint − sin 2t)

(0 ≤ t ≤ 2π ).

18.

∫xdy + ydx, де L − дуга кривої x = 3(t − sint),

y = 3(1− cost) (π ≤ t ≤ 2π ).

19.

∫xdx + xydy, де L − дуга кривої x =1+ cost, y = sint (0 ≤ t ≤ π ).

x = (t2 − 2)sint + 2tcost,

20.

∫ x2 + y2 dy,

де

L −

дуга

кривої

y = (2 − t2 )cost + 2tsint

(0 ≤ t ≤ π ).

21.

∫(y2 − z2 )dx + 2yzdy − x2dz,

де

L −крива

x = t , y = t2, z = t3 (0 ≤ t ≤1),

що пробігається в напрямі зростання параметра.

22.	∫ ydx + zdy + xdz, де L − виток гвинтової лінії	x = acost,	y = asint ,
	L
	z = bt (0 ≤ t ≤ 2π ), що пробігається в напрямі зростання параметра.
23.	∫ ydx + zdy + xdz, де L − коло x = Rcosα cost, y = Rsinα sint,		z = Rsinα
	L
	(α = const ), що пробігається в напрямі зростання параметра.
24.	∫(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz, де L − виток гвинтової лінії x = acost,
	L
	y = asint , z = bt (0 ≤ t ≤ 2π ).
25.	∫xdy − ydx, де L − кардіоїда x = 2rcost − rcos2t,	y = 2rsint − rsin 2t.
	L

§10. ЗАСТОСУВАННЯ КРИВОЛІНІЙНОГО ІНТЕГРАЛА ДРУГОГО РОДУ

Основні теоретичні відомості

[1]– гл.ІХ, §1, с.478-481; [2] –глава 10, §3, с.595-599; [3]–глава ХV, §1-4, с.208-224; [4] – глава VII, §8-9, 301-307; [5] – ч.ІІ, глава ІI, §1-2, с.42-50.

1. Обчислення площі плоскої фігури. Нехай на площині Oxy задана замкнена область D , обмежена кривою L. Тоді її площу S можна знайти за однією із наступних формул:

S = −∫ ydx,

S = ∫xdy ,

S= 1 ∫xdy − ydx. 2 L

2.Обчислення роботи. Нехай сила F = P(x, y)i + Q(x, y) j виконує ро-

боту A при переміщенні матеріальної точки вздовж кривої L, причому функції P(x, y) і Q(x, y) неперервні на кривій L, тоді

A = ∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

Питання для самоконтролю

1.Наведіть формули, за якими можна знайти площу замкненої обмеженої області через криволінійний інтеграл ІІ роду. Доведіть одну із них для

випадку правильної області.

2.Як обчислюється робота сили F по переміщенню матеріальної точки вздовж кривої L?

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Обчисліть роботу сили F = y2x3i + (y + x2 )j при пере-

міщенні матеріальної точки по параболі y = x2 від точки O(0;0) до точки B(1;1).

Розв’язання.

y = x2

A = ∫ y2x3dx + (y + x2 )dy = dy = 2xdx = 1∫(x4 x3dx + (x2 + x2 )2xdx)=

0 ≤ x ≤ 1 0

= 1∫(x7 + 4x3)dx =

+ 4

1 =

Приклад 2. Знайдіть площу області обмеженої еліпсом

x = acost,

y = asint.

Розв’язання.

dx = −asint dt

2∫π(acost acost + asint asint)dt =

S =

∫xdy − ydx =

dy = acost dt =

0 ≤ t ≤ 2π

2π

∫ (cos2 x + sin2 x)dt =

∫

dt =

= π ab (кв.один.).

Задачі для самостійного розв’язування

10.1. Знайдіть

площу

фігури,

обмеженою астроїдою x = acos3 t,

y= asin3 t .

10.2.Знайдіть площу фігури, обмеженої кардіоїдою x = 2acost − acos2t,

y= 2asint − asin 2t.

10.3.Обчисліть роботу при переміщенні точки з початку координат в точку A(1;1) по параболі y = x2 . У кожній точці площини на матеріальну точку діє сила F = x2 yi + (y − x) j .

10.4. У кожній точці площини на матеріальну точку діє сила

F = x2 yi + (y − x) j . Обчисліть роботу цієї сили при переміщенні точки з початку координат в точку A(1;1) по кубічній параболі y = x3.

10.5. У кожній точці площини на матеріальну точку діє сила

F = x2 yi + (y − x) j . Обчисліть роботу цієї сили при переміщенні точки по ламаній, що сполучає точки O(0;0), A(1;1), C(1;0).

10.6.Знайдіть роботу сили F = xyi + (y + x) j при переміщенні матеріальної точки з початку координат в точку A(1;1) по кривій y = x3.

10.7.Обчисліть роботу сили F = x2 i − j − zyk при переміщенні матеріальної точки з точки A(1;−1;2) в точку B(2 ;0;3) вздовж відрізка AB.

10.8.Знайдіть площу фігури обмеженої кривими y = x2, x = y2, 8xy =1 .

10.9. Обчисліть площу чотирикутника з

вершинами

A(6;1), B(4 ;5 ),

C(1;6), D(−1;1).

10.10.Обчисліть площу обмежену параболами y2 = x, x2 = y.

Відповіді: 10.1.

π a2 . 10.2. 6π a2 . 10.3.

. 10.4.

. 10.5. −

10.6.

. 10.7.

. 10.8.

1+ 3ln2

. 10.9.

. 10.10.

Розрахункові завдання

Задача 14. Обчисліть роботу сили F = X i + Y j по переміщенню матеріа-

льної точки з точки A в точку B вздовж лінії y = f (x).

X = x2y − xy2, Y = x2 + y2,

A(−1; 2),

B(4;32),

y = 2x2.

X = xy,

Y = 2x + y,

A(1;1),

B(− 2;8),

y = x3.

X = 2xy,

Y = −x2,

A(0;0),

B(2;1),

y =

X = x3 + y3 ,

Y = xy,

A(0;2),

B(4 ;0),

y =

− 2.

X = x2 − 2xy,

Y = 2xy + y2 ,

A(1;1),

B(2;4),

y = x2.

X = (x − y2 ),

Y = (x + y2 ),

A(0;− 3),

B(2;1),

y = 2x − 3.

X = x2 − xy,

Y = xy + y2 ,

A(1;1),

B(2;8),

y = x3.

X = 2 − y,

Y = x,

A(0;0),

B(π ;0),

y = sin x.

X = x4 + 4xy3, Y = 6x2 y2 − 5y4,

A(0;1),

B(−1;2),

y = −x + 1.

10.

X = 3xy,

Y = x + y2 ,

A(2;0),

B(4 ;2),

y = x − 2.

11.

X = x2 − y2,

Y = x2 + y2 ,

A(− a;0),

B(a ;0),

y = b 1−

(a > 0,b > 0).

12.

X = cosx,

Y = sin x,

A(1;−1),

B(2;−2),

y = −x.

13.

X = y2,

Y = x2,

A(− a;0),

B(a ;0),

y = −b 1−

(a > 0,b > 0).

14.

X = y,

Y =

A(0;1),

B(−1;e),

y = e− x.

x + y

x − y

15.

X =

Y =

A(2;0),

B(− 2;0),

y =

4 − x2 .

x2 + y2

2 + y2

16.

X =

Y =

A(1;2),

B(2;1),

y = −x + 3.

17.

X = ex + xy,

Y = ey − x,

A(0;0),

B(2;1),

y =

18.

X = x + y,

Y = xy,

A(1;2),

B(2;1),

y =

X = 3x − y2,

Y = y − x3,

A(0;0),

B(8 ;2),

y = 3

19.

X = 2xy,

Y = x2 − y2 ,

A(1;−1),

B(4 ;− 2),

y =

20.

21.

X = y2 − 4x,

Y = x2 y,

A(1;1),

B(2;8),

y = x3.

22.

X = 2x − y,

Y = x2 + xy,

A(4 ;2),

B(1;1),

y =

23.

X = x3 ,

Y = 2x − y,

A(2;− 8),

B(1;−1),

y = −x3.

24.

X = x4 + 1,

Y = xy− y3,

A(1;3),

B(3;1),

y =

25.

X = y,

Y = x,

A(0;3),

B(3;0),

y =

9 − x2 .

§11. ФОРМУЛА ГРІНА

Основні теоретичні відомості

[1] - гл. ІХ, §1, с.458; [2] - гл. 10, §3.п. 3.7, с.608; [3] - гл.XV, §3, с.217, [4] - гл. VІІ, §12, с.316, [5]-гл.ІІ, §3, с.50

Формула Гріна пов’язує подвійний інтеграл по замкненій області D з криволінійним інтегралом по межі цієї області L.

Теорема. Нехай D замкнена область, обмежена контуром L, і функції

P(x, y) та Q(x, y) неперервні разом із своїми частинними похідними							∂P	і
							∂y	і
∂Q	в цій області. Тоді справедлива формула Гріна
∂x	в цій області. Тоді справедлива формула Гріна
	∫	P(x, y)dx + Q(x, y)dy =		∂Q	−	∂P
	∫		∫∫
						dxdy .
	L		D	∂x		∂y
	L		D

Зауваження. У формулі Гріна при обході контуру L область D залишається весь час зліва, тобто межа L додатно орієнтована.

Питання для самоконтролю

1.Доведіть формулу Гріна для правильної області.

2.Чи важлива у формулі Гріна орієнтація кривої, що обмежує задану область?

3.Як із формули Гріна отримати формулу обчислення площі фігури через криволінійний інтеграл?

4.Покажіть, що формула Гріна залишається справедливою не лише для правильної, а й для довільної області, яку можна розбити на скінченне число правильних областей.

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Обчисліть криволінійний інтеграл

∫− x2 ydx + xy2dy,

де L – коло: x2 + y2 = 4 а) безпосередньо; б) за формулою Гріна.

Розв’язання.

а) Скористаємося параметричними рівняннями кола: x = 2cost, y = 2sint, 0 ≤ t ≤ 2π .

Тоді dx = −2sintdt, dy = 2costdt , тому

∫− x2 ydx + xy2dy =		2∫π (− 8cos2 tsint(−2sint) + 8costsin2 t(2cost))dt =
L		0
2π		2π
= ∫	(16sin2 tcos2 t +16sin2 tcos2 t)dt = 32 ∫ sin2 tcos2 tdt =
0		0

2π	2π		1		2π


= 8 ∫	sin2 2tdt = 4 ∫	(1− cos4t)dt = 4 t −		sin4t	= 8π.

0	0		4		0

б) Застосуємо для обчислення даного криволінійного інтеграла формулу Гріна. За умовою

P(x, y) = −x2 y , Q(x, y) = xy2 , тоді ∂P

∂y

Таким чином,

∫− x2 ydx + xy2dy

= −x2,	∂Q = y2 і	∂Q −	∂P = y2 + x2 .
	∂x	∂x	∂y

= ∫∫(y2 + x2 )dxdy,

	L	D
де D – круг x2 + y2 ≤ 4.
	Перейдемо до полярних координат: x = ρ cosϕ,						y = ρ sinϕ, 0 ≤ϕ ≤ 2π .
		2π 2	2π		4	2	2π
		2π 2	2π		4	2	2π
∫∫(y2 + x2)dxdy = ∫∫ρ3dρdϕ =		∫dϕ ∫ρ3dρ =		ρ				02π = 8π.
			∫	ρ		dϕ = 4 ∫dϕ = 4ϕ


D	D′	0 0	0	4			0
						0
						0

Задачі для самостійного розв’язування

Обчисліть за допомогою формула Гріна криволінійний інтеграл по замкненому контуру L, на якому вибраний додатний напрямок.

11.1.

∫xydx − y2dy , де

–

замкнений контур, утворений кривими

y = x2, y = 4, x = 0 .

11.2.

∫2(x2 + y2)dx + (x + y)2dy, де L – контур трикутника з вершинами

A(1;1), B(2; 2), C(1; 3), обхід вибирається додатний.

11.3.

∫(xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy, де L: 1) еліпс

=1; 2) коло

x2 + y2 = 2x . Інтегрування ведеться в додатному напрямі.

11.4.

∫− 3ydx + 2xdy,

де

–

контур

трикутника

вершинами

A(1; 2), B(3;1), C(2; 5), обхід вибирається додатний.

11.5.

∫x2 ydx + x3dy,

де

–

контур,

обмежений

параболами

y = x2, x = y2 , обхід вибирається додатний.

11.6.

∫(x − y)2dx + (x + y)2 dy ,

де

L – контур трикутника з

вершинами

A(0; 0), B(2; 0), C(4; 2), обхід вибирається додатний.

11.7. ∫ ydx − (y + x2)dy , де L – замкнений контур, утворений параболою

y = 2x − x2 та віссю Ox .

11.8.	∫(x + y)dx − (x − y)dy, де L – еліпс		x2		+	y2		=1, обхід вибирається
11.8.	∫(x + y)dx − (x − y)dy, де L – еліпс				+			=1, обхід вибирається
	L	4					9
	L
	додатний.
11.9.	∫ex(1− cos y)dx − ex(y − sin y)dy,	де		L			–		контур,	обмежений
	L
	прямими x = 0, x =π , y = 0, y = sin x, обхід вибирається додатний.
11.10. ∫(ex sin y − 2y)dx + (ex cos y − 2)dy ,		де			L		–		контур,	обмежений
	L

верхнім півколом x2 + y2 = 2x та віссю Ox , обхід додатний.

11.11. ∫x2 ydx − xy2dy , де L – контур, обмежений колом x2 + y2 = 9.

11.12. ∫ y2dx + x2dy, де L – контур трикутника, обмеженого прямими

y = x, x =1, y = 0.

11.13. ∫xy2dx + x3dy,

де

L –

контур

трикутника

вершинами

A(0; 0),

B(2; 0), C(1;1), обхід додатний.

11.14. ∫(x2 − 4y)dx + (2xy + 3)dy ,

де

L –контур, обмежений

параболою

y = x2 +1 і прямою y = x +1.

11.15. ∫

y2dx + (hx − x2)dy , де L – коло x2 + y2 = R2, обхід додатний.

11.16. ∫x3dx +

x2 y

dy ,

де

–

контур

трикутника

вершинами

A(0; 0),

B(0;1),

C(1; 0).

11.17. ∫x2dx + xydy ,

де

–

контур, обмежений половиною

дуги кола

x2 + y2 = ax і віссю Ox , обхід додатний.

11.18. ∫xydx + dy,

де

–

замкнений

контур, утворений лініями

y = x2,

y =1,

x = 0, обхід додатний.

11.19. ∫ y3dx − x3dy , де																L		– замкнений контур,										утворений			лініями
				L
				y =					y = −x2, x = 2, обхід додатний.
				y =		x,			y = −x2, x = 2, обхід додатний.
11.20. ∫− y2dx +										x3		dy , де L – контур прямокутника (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2).
11.20. ∫− y2dx +										3		dy , де L – контур прямокутника (0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2).
				L						3
				L
Відповіді. 11.1. − 4. 11.2. −																		4	. 11.3. 1) 0; 2) − π . 11.4. 17,5. 11.5.													6	.
Відповіді. 11.1. − 4. 11.2. −																			. 11.3. 1) 0; 2) − π . 11.4. 17,5. 11.5.														.
																		3													35
11.6. 16. 11.7. − 4. 11.8. −														12π . 11.9.						1	(e	π	−1). 11.10. π . 11.11.							81π	.
11.6. 16. 11.7. − 4. 11.8. −														12π . 11.9.						5	(e		−1). 11.10. π . 11.11.						2		.
																				5									2
11.12.		1	. 11.13.					17		. 11.14.				17			.	11.15. πR2h . 11.16.								1	.	11.17. −	πa3		.
																										24
		3							6					15															4
		3							6					15															4
11.18. −				1	. 11.19. −						8					+164). 11.20.								14	.
				1							8		(37		2									14
													(37		2
			4							35													3
													Розрахункові завдання
Задача 15.						Обчисліть									за допомогою формули Гріна криволінійний
	інтеграл						по замкненому											контуру				L, на якому						вибраний додатний
	напрямок.

1.∫(1− x2)ydx + x(1+ y2)dy , L: x2 + y2 = 4.

2. ∫	(xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy, L:	x2	+	y2	=1.

L	9		4

3.∫(y2 + x + 2y)dx + (x2 + 2x + y)dy , L: x2 + y2 = 2x .

	L
4.	∫(yx3 + ey )dx + (xy3 + xey − 2y)dy , L: x + y = 4, x = 0, y = 0.
	L
5.	∫(x + y)2dx − (x − y)2dy, L: y = x, y = x2.
	L
6.	∫(2xy − y)dx + (x2 − x)dy , L: x =1, x = 3, y = 2, y = 5.
	L

7.∫cos ydx − (xsin y − x3)dy , L: x2 + y2 = 9.

L: y = x2,

x = y2 .

∫

ln ydx +

+ x

dy,

9. ∫

1+ y

dx +

− x

L: x + y =1, x − y =1, x = 0.

y dy

1+ y

		xy			x	2		y	2
10. ∫xln(1+ y	2)dx +			+ x dy , L:			+			=1.
			2
		+ y			4		9
L	1

11.	∫(ex cos y + y2)dx − (ex sin y − x)dy, L: y = x,	y = 2x, x =1.
	L
12.	∫3y dx + (x3y ln3+ xy)dy, L: y = x, y = x3.
	L
13.	∫(exy + 2xcos y)dx + (1− x2 sin y)dy , L: x =1,	x = 2, y = 0, y =1.
	L

14. ∫(−yx2dx + xy2dy), L: x2 + y2 = 2x .

15. ∫x2 ydx − xy2dy , L: x2 + y2 = 2y .

16.

∫arcsin ydx +

+ 3xy dy, L: y =

= x,

x =

1− y

17.

∫tgydx +

− sin x dy ,

L: y = x, y = 2x,

x =

cos

18.

∫(3x2 + y)dx + (x3 − xy)dy,

L: y =

3 − x

y = 0,

x =1,

x = 3.

19.

∫(yx3 + ey )dx + (xy3 + xey − sin y)dy , L: x =1,

x = 0,

y = 0,

y =1.

20.

∫(2 − y)2dx − (4x − cos y − 2xy + x2)dy , L: x =1,

x = 2,

x + y = 2, y = 0 .

21.

∫(xy + x2 + y)dx + (xy + x − y3)dy,

L: y = x,

y =

x .

22.

∫(ex sin y − y + x)dx + (ex cos y + y − 2)dy, L: x2 + y2 = 4y .

23.

∫lnsin ydx + x2dy,

L: y =

, y = 0,

x =1,

x = 2.

xysin 1+ y

24.

∫cos

1+ y

−

− 2x dy ,

L: x

+ y

= 4x .

1+ y

+ 1+ y

+ xy

+ y

= 9.

25.

∫ln 2

dy ,

L: x

2 1+ y

+ y

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2019103.94 Кб2Практика МЭО.doc
#
04.05.20192.6 Mб2ПРАКТИКА ОД.doc
#
08.06.2015128.51 Кб6практика.doc
#
08.06.2015239.1 Кб9практика.doc
#
08.06.2015109.06 Кб20Практика_адвокат_заочка.doc
#
08.06.20151.69 Mб22Практикум з вищої математики.pdf
#
08.06.201519.22 Кб25Практическая 4.docx
#
03.08.2019214.53 Кб2Практична робота5.doc
#
07.05.2019326.14 Кб2Практичне занятт1.doc
#
08.06.201533.86 Кб85ПРИВАТНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД.docx
#
11.11.2019264.7 Кб3программа по налоговой системе.doc