Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Межрегианальная Академия Управления Персоналом

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум з вищої математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

∫∫∫(x + 2y)dxdydz;

G : z = 4x2 + 3y2,

y = x, y = 0,

z = 0, z = 2 .

∫∫∫(x2 + y2 + z2)ydxdydz ;

G : x = 0, x = a, y = 0, y = b, z = 0, z = c.

∫∫∫(2x + 3y − z)dxdydz ; G : x + y = k, x = 0, y = 0, z = 0, z = a (k > 0,a > 0).

∫∫∫ xyzdxdydz;

G : x + y + z =1,

x = 0,

y = 0, z = 0.

∫∫∫

dxdydz

; G :

=1, x = 0, y = 0,

z = 0 .

10.

∫∫∫xyzdxdydz;

G : z = x2 + 2y2,

x = 0,

y = 0, z = 4.

11.∫∫∫xdxdydz ; G : y2 = 3z, x2 + y2 = 4, z = 0. G


12.	∫∫∫(x + y)dxdydz ; G : y2 = 4x, x + 2y + z = 5,						y = 0, z = 0.
	G
13.	∫∫∫xdxdydz ; G : x =		y2	+	z2	=1, x = 2, y = 0,	z = 0.
13.	∫∫∫xdxdydz ; G : x =		4	+		=1, x = 2, y = 0,	z = 0.
	G		4	2
	G
14.	∫∫∫x	ydxdydz ; G : z = 4 − x2 , z = 0y = 0, y = 5, x = 0 .
14.	∫∫∫x	ydxdydz ; G : z = 4 − x2 , z = 0y = 0, y = 5, x = 0 .
	G

15.∫∫∫ yzdxdydz ; G :6x − 9y + 5z = 0, 3x − 2y = 0,4x − y = 0,x + y = 5,z = 0. G

16.∫∫∫(x + y + z)dxdydz; G :2x + y − 2 = 0, 4x + 3y − 2z = 0,x = 0, y = 0,z = 0.

17.∫∫∫xyzdxdydz; G :z = 9 − x2,x + y = 3, y = 2x,z = 0, y = 0 . G

18.∫∫∫x2 yzdxdydz; G :z2 = xy,x + y =1,x = 0, y = 0,z = 0. G

19.∫∫∫(y − x2)dxdydz ; G : z = xy, x + y =1,z = 0. G

20.∫∫∫x2 yexyzdxdydz ; G :x = 0, y = 0,z = 0,x =1, y =1,z =1. G

21.∫∫∫xdxdydz ; G :x = 0, y = 0,z = 0, y = h,x + z = a(a > 0,h > 0). G

22. ∫∫∫(x2 + y2 + z2)ydxdydz ; G :2x + 3y + 4z =12,x = 0, y = 0, z = 0 .

G
23. ∫∫∫ yxdxdydz; G :z = 4 − y	2, y =	x2	,x = 0, z = 0.

G	2

xdxdydz

Gz2 ; G :2z = x ,3x + 2y =12, y = 0,z = 0 .

25.∫∫∫(2x + 3y + z)dxdydz ; G :x = 2 − y2,z = 4, x = 0, y = 0,z = 0 .

§5. ЗАМІНА ЗМІННОЇ В ПОТРІЙНОМУ ІНТЕГРАЛІ

Основні теоретичні відомості

[1] – гл.VIII,§1, с.434-440; [2] – гл.10,§1, с.589-592; [3] – глава ХІV, §1-3, с.196-199; [4] – глава VII, §1, с.286-293; [5] – глава I, §1, с.23-28.

Розглянемо потрійний інтеграл ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz, де	функція
G
f (x, y,z) неперервна в просторовій області G . Нехай область G	простору

Oxyz пов’язана взаємнооднозначною відповідністю з областю G ' простору O 'uvw за допомогою формул:

x = x(u,v, w), y = y(u,v, w), z = z(u,v, w),

де x(u,v, w), y(u,v, w),	z(u,v, w) неперервні і мають частинні похідні 1-го
порядку по змінних u, v,	w в області G '.
Означення. Визначник
		∂x	∂x	∂x
		∂x	∂x	∂x

		∂u	∂v	∂w
	J(u,v,w) =	∂y ∂y ∂y
	J(u,v,w) =	∂u	∂v	∂w
		∂u	∂v	∂w
		∂z	∂z	∂z

		∂u	∂v	∂w

називають якобіаном даного відображення.

Теорема. Якщо J(u,v,w) ≠ 0 в області G ', то має місце формула заміни змінних у потрійному інтегралі:

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (x(u,v, w), y(u,v, w), z(u,v, w)) J(u,v,w) dudvdw.

G G '

На практиці найчастіше використовуються циліндричні та сферичні координати.

M(x,y,z)

ϕ x

1) Циліндричні координати ρ, ϕ, z пов’язані з декартовими x, y, z співвідношеннями:

x = ρ cosϕ,y = ρ sinϕ,

z = z,

0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ ϕ < 2π , − ∞ < z < +∞, оскільки J = ρ , то має місце така формула:

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cosϕ, ρ sinϕ, z)ρdρdϕdz.

G G '

		M(x,y,z)
	θ	ρ
		z
	ϕ	y
x	ϕ	x
x	y
	y

2) Сферичні координати r, ϕ, θ , пов’язані з декартовими x, y, z співвідношеннями:

x = rsinθ cosϕ,

= sinθ sinϕ,

y r

z = rcosθ,

0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ < 2π , 0 ≤θ ≤ π ,

J = r2 sinθ , тому має місце формула:

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (rsinθ cosϕ, rsinθ sinϕ, rcosθ )r2 sinθdrdϕdθ.

G '

Зауваження. До циліндричних координат буває доцільно переходити, якщо область інтегрування є круговим циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі Oz. Рівняння такого циліндра в сферичних координатах

ρ = const.

Переходити до сферичних координат зручно, коли область інтегрування є куля (рівняння її межі x2 + y2 + z2 = R2 у сферичних координатах має вигляд ρ = R) або його частина, а також якщо підінтегральна функція має вигляд f (x2 + y2 + z2 ).

Питання для самоконтролю

1.Дайте означення якобіана відображення.

2.Сформулюйте теорему про заміну змінних у потрійному інтегралі.

3.Чому дорівнює якобіан в циліндричних координатах.

4.Як знаходяться межі інтегрування для потрійного інтеграла в циліндричних координатах? Наведіть приклад області, для якої межі інтегрування в циліндричних координатах сталі.

5.Чому дорівнює якобіан у сферичних координатах.

6.Як знаходяться межі інтегрування для потрійного інтеграла у сферичних координатах? Наведіть приклад області, для якої межі інтегрування у сферичних координатах сталі.

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Обчисліть ∫∫∫zdxdydz , якщо область G обмежена коні-

чною поверхнею z2 = x2 + y2 і площиною z = 2.
Розв’язання.
	z				Дане тіло, обмежене знизу конусом z2 = x2 + y2, а
				зверху площиною										z = 2. Його проекцією на площину
	2			Oxy є круг			x	2	+ y				2	≤ 4 . Використаємо циліндричні ко-
				Oxy є круг			x		+ y					≤ 4 . Використаємо циліндричні ко-
				ординати.
	O	y			Рівняння заданого конуса в циліндричних коорди-
	O			натах набуде вигляду											z = ρ ; а рівняння кола, що обме-
2

				жує проекцію, ρ = 2. Отже маємо:
x				жує проекцію, ρ = 2. Отже маємо:
	2π		2	2		2π		2					z	2	2
∫∫∫zdxdydz = ∫		dϕ ∫ρdρ ∫zdz = ∫					dϕ ∫						z
∫∫∫zdxdydz = ∫		dϕ ∫ρdρ ∫zdz = ∫					dϕ ∫			ρ			2		dρ =
	0		0	ρ		0		0					2
G	0		0	ρ		0		0							ρ
2π 2			2	2π 2							3				2π		4		2		2π
2π 2			2	2π 2							3				2π	ρ2 − ρ	4				2π
= ∫ dϕ∫ρ(2 − ρ			)dρ = ∫		dϕ∫	2ρ − ρ						dρ = ∫				ρ2 − ρ				dϕ = 2	∫dϕ = 4π.
0	0	2		0					2						0	8					0
0	0	2		0	0				2						0	8			0		0
																			0
Приклад 2.				Обчисліть			∫∫∫x2dxdydz ,									якщо		область			G – куля

x2 + y2 + z2 ≤ R2 .

Розв’язання.

Перейдемо до сферичних координат. У даному випадку координати ρ, ϕ, θ будуть змінюватися так:

0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ϕ < 2π , 0 ≤θ ≤π .

Отже,

∫∫∫x2dxdydz = ∫∫∫ρ 4 sin3

θ cos2ϕdρdϕdθ = = ∫sin3

θdθ ∫cos2

ϕdϕ ∫ρ 4 =

G′

R5 π

2π

πR5 π

(cos2θ −1)d(cosθ )=

4πR5

∫sin3

θdθ ϕ

sin 2ϕ

∫

5 2

Задачі для самостійного розв’язування

5.1. Обчисліть ∫∫∫(x2 + y2 + z2 )dxdydz , якщо область G обмежена цилі-

ндром x2 + z2 =1 та площинами y = 0, y =1.

5.2.

Обчисліть

∫∫∫dxdydz,

якщо

область

G обмежена

параболоїдом

z ≥

x2 + y2

та сферою x2 + y2 + z2 ≤ 3a2.

5.3.

Обчисліть

∫∫∫(x2 + y2)dxdydz,

якщо область G обмежена поверхня-

ми z =

+ y2

та z = 2.

5.4.

Обчисліть

∫∫∫z

x2 + y2dxdydz, якщо область G обмежена цилінд-

ром x2 + y2 = 2x та площинами y = 0, z = 0, z = a .

5.5.

Обчисліть

∫∫∫(x2 + y2)dxdydz,

якщо область G обмежена поверхня-

ми z ≥ 0, r2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ R2 .

1+ (x2 + y2 + z2)

dxdydz ,

5.6.

Обчисліть

∫∫∫

якщо

область

куля

x2 + y2 + z2 ≤1.

5.7.

Обчисліть

∫∫∫xydxdydz , якщо

область

G обмежена

поверхнями

x2 + y2 = 3, z = 0, z = 4, x ≥ 0, y ≥ 0.

5.8.

Обчисліть

∫∫∫z

x2 + y2dxdydz ,

якщо область G обмежена поверх-

нями z ≥ 0, z = 3 − x2 − y2 .

5.9.

Обчисліть

∫∫∫

x2 + y2 + z2 dxdydz ,

якщо область

G обмежена сфе-

рою x2 + y2 + z2 = z .

5.10. Обчисліть

∫∫∫

dxdydz

якщо

область

–

куля

G x2 + y

2 + (z − 2)

x2 + y2 + z2 ≤ 1.

π .

5.2. πa3

+1).

`16

. 5.4.

8a2

Відповіді: 5.1.

5.3.

5.5.

π (R5 − r5) . 5.6.

π (2

−1). 5.7.

. 5.8.

π . 5.9.

π .

. 5.10.

Розрахункові завдання

Задача 8. Обчисліть потрійні інтеграли, перейшовши до сферичних або циліндричних координат.


1.	∫∫∫	x2 + y2dxdydz; G : x2 + z2 = y2, y =1.
	G
2.	∫∫∫(x2 + y2 + z2)dxdydz; G : x2 + y2 = 4,z = 0, z = 3.
	G

3.	∫∫∫z		x2 + y2dxdydz; G : x2 + y2 = 2x, y = 0, z = 0, z = a.
	G

4.∫∫∫(4 − x2 − y2)dxdydz; G :2z = x2 + y2,z = x2 + y2 , x ≥ 0, y ≥ 0.

	G
5.	∫∫∫xydxdydz; G : x2 + y2 =1, z = 0, z = 3, x ≥ 0, y ≥ 0 .
	G

6.	∫∫∫x x2 + y2dxdydz; G : z = 4 − x2 − y	2 , z = 0,x ≥ 0, y ≥ 0.
	G
7.	∫∫∫zdxdydz; G : x2 + y2 = 3,x2 + y2 + z	2 = 4, z = 0 .
	G
8.	∫∫∫(x2 + y2)dxdydz; G : x2 + y2 = 4y,z = 0, z = 4.

9.∫∫∫(x2 + y2)dxdydz; G : z = 4 − x2 − y2,z = 0.


10.	∫∫∫	x2 + y2dxdydz; G : x2 + y2 + z2 = 9, x2 + y2 = 8z .
	G
11.	∫∫∫	dxdydz	; G : x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 ≤1.

		9 − x2 − y2
	G	9 − x2 − y2

12. ∫∫∫xx2 + z2dxdydz; G : x = 4 − y2 − z2 , x = 0 .

13. ∫∫∫ex2 + y2 dxdydz; G : x2 + y2 = z2z = 0, z = 3.

14.	∫∫∫	xzdxdydz	; G : x2	+ y2	= 2x,z =1, z = 2.

		x2 + y2
	G
15.	∫∫∫	x2 + y2dxdydz; G : z = x2 + y2, z = 4 .
	G

16. ∫∫∫xy2 + z2dxdydz; G : y2 + z2 = 9 , x = 0,x = 4.


17.	∫∫∫z		x2 + e2dxdydz; G : z = 3 − y2 − x2 ,z ≥ 0.
	G
18.	∫∫∫xydxdydz; G : x2 + y2 = 3, z = 0, z = 4 .
	G
19.	∫∫∫xyzdxdydz; G : x2 + y2 ≤ 4,x2 + y2 + z2 = 9.
	G
20.	∫∫∫(z	2		+ y	2	)	2	dxdydz; G : y =	1	(x	2	+ z	2	), y = 2.
20.	∫∫∫(z			+ y		)		dxdydz; G : y =	2	(x		+ z		), y = 2.
	G								2
	G
21.	∫∫∫zdxdydz; G : z = x2 + y2, z = 0, z = 2.
	G
22.	∫∫∫(z2 + y2)dxdydz; G : x2 + y2 = 9, z = 0, z = 4.
	G
23.	∫∫∫(x2 + z2 )dxdydz, G : 2y = x2 + z2,												y = 2.

24. ∫∫∫

25. ∫∫∫

	dxdydz		; G : z = x	2	+ y2,z = 4.
				2

	4 − x2 − y2
	4 − x2 − y2
ln(x2 + y2)		dxdydz; G : x2				+ y2 = 4, y =1,	y = 4.
		dxdydz; G : x2				+ y2 = 4, y =1,	y = 4.
	x2 + z2

§6. ЗАСТОСУВАННЯ ПОТРІЙНОГО ІНТЕГРАЛА ДО ЗАДАЧ ГЕОМЕТРІЇ ТА МЕХАНІКИ

Основні теоретичні відомості

[1] – гл.VIII,§1, с.438-440; [2] – гл.10,§1, с.593-594; [3] – глава ХІV, §1-3, с.199-202; [4] – глава VII, §1, с.286-293; [5] – глава I, §1, с.23-28.

Об’єм області G знаходиться за формулою

V = ∫∫∫dxdydz .

Маса тіла із змінною густиною γ = γ (x, y,z) , що займає просторову область G , визначається за формулою:

	m = ∫∫∫γ (x, y,z)dxdydz .
	G
Статичні моменти тіла M xy,M yz ,M xz відносно координатних пло-
щин Oxy, Oxz, Oyz :	M xy = ∫∫∫zγ (x, y,z)dxdydz,

M xz = ∫∫∫yγ (x, y,z)dxdydz ,

M yz = ∫∫∫xγ (x, y,z)dxdydz .

Координати центра мас тіла xc, yc,zc :

M yz

∫∫∫xγ (x, y,z)dxdydz

∫∫∫γ (x, y,z)dxdydz

M xz

∫∫∫yγ (x, y,z)dxdydz

∫∫∫γ (x, y,z)dxdydz

M xy

∫∫∫zγ (x, y,z)dxdydz

∫∫∫γ (x, y,z)dxdydz

Моменти інерції тіла Ix, I y, Iz відносно координатних осей

Ox, Oy, Oz :

Ix = ∫∫∫(y2 + z2)γ (x, y,z)dxdydz ,

Iy = ∫∫∫(x2 + z2)γ (x, y,z)dxdydz ,

Iz = ∫∫∫(y2 + x2)γ (x, y,z)dxdydz .

Моменти інерції тіла Ixy, Ixz , I yz відносно координатних площин

Oxy, Oxz, Oyz :

Ixy = ∫∫∫z2γ (x, y, z)dxdydz,

Ixz = ∫∫∫y2γ (x, y,z)dxdydz ,

Iyz = ∫∫∫x2γ (x, y,z)dxdydz .

Момент інерції тіла Io відносно початку координат

Io = ∫∫∫(x2 + y2 + z2)γ (x, y,z)dxdydz .

Питання для самоконтролю

1.Наведіть формулу для знаходження об’єму тіла за допомогою потрійного інтеграла.

2.Наведіть формули для знаходження маси тіла, моментів інерції тіла, координат центра мас тіла.

Зразки розв’язування задач

Приклад 1.Обчисліть

об’єм

тіла,

обмеженого

поверхнями

z =1− 6(x2 + y2), z =12x +1.

Розв’язання.

Визначимо проекцію заданого тіла на площину Oxy , для чого виклю-

чимо z із системи

=1−

6(x

+ y

1− 6(x2 + y

2) =12x +1 (x +1)2 + y2 =1.

=12x +1.

Отже, проекцією тіла (області G ) на площину

є круг, обмежений колом (x +1)2 + y2 =1. Пе-

Oxy

рейдемо до циліндричних координат. Тоді

V = ∫∫∫ρdρdϕdz .

G '

Рівняння

кола

x2 + y2 = −2x ,

поверхні

z =1− 6(x2 + y2) та площини z =12x +1 в циліндри-

чних

координатах

мають

відповідно

вигляд:

ρ = −2cosϕ,

z =1− 6ρ 2,

z =12ρ cosϕ +1, тому

3π

−2cosϕ

1−6ρ 2

−2cosϕ

(1− 6ρ 2 −12ρ cosϕ −1)ρdρ =

V = ∫ dϕ

∫ρdρ

∫dz

= ∫

dϕ

∫

12ρ cosϕ +1

3π

1+ cos2ϕ 2

dϕ =

= ∫ (−24cos4 ϕ + 32cos4ϕ)dϕ =8 ∫

3π

+ 2cos2ϕ +

1+ cos4ϕ

ϕ + sin2ϕ

= 3π (куб.од).

= 2 ∫

dϕ =2

sin4ϕ

Приклад 2.

Знайдіть

координати

центра

маси

однорідного

(γ (x, y,z) =1) тіла, яке обмежене площинами x = 0,z = 0, y =1, y = 3, x + 2z = 3.

Розв’язання.

Знайдемо об’єм даного тіла:

3−x

3 − xdy =

V = ∫∫∫dxdydz = ∫dx∫dy

∫dz = ∫dx∫

zx + 2z = 3

								3																			y
								3

								2								G											3
								2

																												D
												1							3									D
			3																			y					1
																						y


		x																															3	x
3										1					2			3	9
3

= ∫(3 − x)dx				=		3x −						x						=			.
= ∫(3 − x)dx				=		3x −				2		x						=	2		.
0										2								0	2
0																		0
Тоді :
																					3−x
															3		3									3	3					3
	2											2			3		3				2				2	3	3	3 − x dy =		2		3
xc =	2	∫∫∫xdxdydz =										2			∫xdx∫dy							∫dz = =			2	∫xdx∫		3 − x dy =		2		∫x(3 − x)dx =
	9	G										9			0		1				0				9	0	1	2		9		0
		G													0		1				0					0	1					0
			2		3					1							3
		=	2		3	x	2	−		1		x			3		3
		=	9		2	x		−		3		x					=1;
			9		2					3							0
																	0					3−x
																						3−x
															3		3								3		3				3
															3		3				2				3		3			4	3
yc =	2	∫∫∫ydxdydz =										2			∫dx∫ ydy ∫dz = 1										∫dx∫ y(3 − x)dy =					4		∫(3 − x)dx =
	9	G										9			0		1				0		9		0		1		9		0
		G													0		1				0				0		1				0
									2
			4					x	2				3
		=	4		3x −			x							= 2;

			9					2
			9					2					0
													0
																				3−x
											2 3 3													3 (3			− x)2 3							− x)3
	2										2 3 3										2		2	3 (3			− x)2 3			1			− (3	− x)3	3	1
zc =		∫∫∫zdxdydz =													∫dx∫dy						∫zdz =			∫				dx∫dy =							=		.
zc =	9	∫∫∫zdxdydz =									9				∫dx∫dy						∫zdz =		9	∫			8	dx∫dy =		18				3	=	2	.
	9	G									9			0			1				0		9	0			8	1		18				3	0	2
		G												0			1				0			0				1							0

Задачі для самостійного розв’язування

6.1. Знайдіть об’єм тіла, обмеженого даними поверхнями: а) z = x2 + y2 ,z = x2 + y2;

б) 2z = x2 + y2,z = 2;

в) z = 0,2x = x2 + y2 , z2 + x2 + y2 = 4(всередині циліндра); г) y = x2 + z2, y =1;

д) x + y + z = 4, x = 2, y = 2, y = 0, x = 0, z = 0;; е) z2 + x2 + y2 = 2z , z2 = x2 + y2;

є) z = x2 + y2, z = x2 + 2y2, y = x, y = 2x, x = 1.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2019103.94 Кб2Практика МЭО.doc
#
04.05.20192.6 Mб2ПРАКТИКА ОД.doc
#
08.06.2015128.51 Кб6практика.doc
#
08.06.2015239.1 Кб9практика.doc
#
08.06.2015109.06 Кб20Практика_адвокат_заочка.doc
#
08.06.20151.69 Mб22Практикум з вищої математики.pdf
#
08.06.201519.22 Кб25Практическая 4.docx
#
03.08.2019214.53 Кб2Практична робота5.doc
#
07.05.2019326.14 Кб2Практичне занятт1.doc
#
08.06.201533.86 Кб85ПРИВАТНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД.docx
#
11.11.2019264.7 Кб3программа по налоговой системе.doc