Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Межрегианальная Академия Управления Персоналом

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум з вищої математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.06.2015

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Обчисліть потік векторного поля a через зовнішню сторону замкненої поверхні S , що обмежує тіло G , безпосередньо і застосувавши формулу Остроградського-Гаусса.

16.11.a = 8 i − 2yj + zk, S : x2 + y2 ≤ z, 0 ≤ z ≤ 4.

16.12.a = xyi + x2zj − z2k, S : x + y + 3z − 6 = 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

16.13. a = xzi − yj + k,		S : x2 + y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ 2.


16.14. a = i + yj + zk	,	S : x2 + y2 + z2 ≤1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

16.15.a = (x − z)i + (x + y) j − xzk, S :2x + 2y + z − 4 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

16.16.a = x2i + y2 j + z2k, S : x2 + y2 + z2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

16.17. a =			i − yj − xz						3k, S :5x + y + z − 5 ≤ 0, x ≥ 0,												y ≥ 0, z ≥ 0.


																			2 + y2 ≤ 9 − z, z ≥ 0.
16.18. a =										+ (y + z)k, S : x
16.18. a =			(x + z)i				− (x + y) j			+ (y + z)k, S : x
16.19. a = xyi + yzj + xzk, S										: x2					+ y2 + z2 ≤				1, x ≥ 0,		y ≥ 0, z ≥ 0.


16.20. a = (y2 + z2)i − z2 j + 2yzk, S : x2 + y2 ≤ z2,																					z =1, z ≥ 0.


Відповіді: 16.1.						42		2	. 16.2.			2		.	16.3.	πhR2			(3R2 − 4h2). 16.4.			1	.
Відповіді: 16.1.						42		3	. 16.2.		3			.	16.3.	10			(3R2 − 4h2). 16.4.			2	.
								3			3					10						2
16.5. 2π	2	H 3 −		1	H		2 .		16.6.		1		.		16.7. −		1	. 16.8.		27	π . 16.9. πR2b.
3			2							15						2			2

16.10. πR2H . 16.11. 48π . 16.12. 4,5. 16.13. 4π . 16.14. π . 16.15. 4 .

16.16. 8π . 16.17. − 125 . 16.18. 81π . 16.19. 3π . 16.20. 0.

Розрахункові завдання

Задача 20. Знайдіть потік векторного поля a через частину площини S , розташовану в першому октанті (нормаль утворює гострий кут з віссю Oz).


1. a =			+ zk, S : x + y + z =1.
	i	+ yj

2.a = yj + zk, S :2x + y − z =1.


3.	a =	2 i	+ yj	+ zk, S : x	+ y + 3z =1.

	a =			+ zk, S :2x + y − 3z =1.
4.	a =	i + 2yj		+ zk, S :2x + y − 3z =1.
5.	a = i + yj + zk, S : x + y + z =1.


					2	3
6.	a = 3 i + 2zk, S : x + y + z =1.


				2	+ y + z =1.
7.	a = i + 3yj − zk, S : x				+ y + z =1.

				3		2

100

a = i − yj + 6zk, S : x + y + z =1.

a = i + yj + zk, S :2x + y + z =1.

10.

a = yj

+ 3zk,

S :

+ y + z =1.

a = 2

S : x + y + z =1.

11.

i + 3yj + zk,

a = −2

i + yj + 4zk,

12.

S : x

+ y + z =1.

a = 2

i + 5yj + 5zk,

13.

S : x

+ y + z =1.

a = 2

i + yj − 2zk,

14.

S :2x + y + z =1.

a =

15.

i + yj + 2zk, S :2x + y + z =1.

16.

a = −

+ yj

+12zk,

S :2x +

+ z =1.

a = − i + 3yj + 8zk,

17.

S : x + 2y + z =1.

a =

i + 4yj + 5zk,

18.

S : x + 2y + z =1.

a = 2

+ zk,

+ 3y + z =1.

19.

3yj

S :2x

a = −

+ zk,

S : x + 2y + 3z =1.

20.

2yj

a = 2

21.

11yj +17zk, S : x + 2y + 3z =1.

a =

+ 3zk,

+ 3y + z =1.

22.

+ 4yj

S :2x

a =

+ 5k, S : x + 2y + 3z =1.

23.

+ 4yj

a = 2

+ 4zk,

S :2x + y + z =1.

24.

3yj

25.

a =

i − yj + 6zk, S : x + 2y + z =1.

Задача 21. Знайдіть потік векторного поля a через замкнену поверхню S

(нормаль зовнішня до цієї поверхні).

+ y

= 9,

a = (x + z)i

+ (z + y)k, S : x

= x, z = 0 (z ≥ 0).

= 3x

+ 2y

+1,

a = 2 i

+ zk, S :

+ y

= 4,

z = 0.

101

3.a = 2 i + 2yj +

4.a = 3 i − zj, S :

				= x			2	, y = 4x		2	, y =1(x ≥ 0),
zk,		S : y
				= y,				z = 0.
		z
	= 6 − x			2	− y			2	,
z
	2		2			2
		= x		+ y				(z ≥ 0).
z

+ z

= 2y,

a = (z + y)i + yj −

k, S : x

y = 2.

= x

+1, z = 0,

a = 2(z − y)i

+ (x − z)k, S :

+ y

=1.

+ y

a = zi

− 4yj + 2 k, S : z = x

z =1.

a =

− (x +

+ y

=1,

2y) j

+ yk, S : x

+ 2y + 3z = 6.

= 4 − 2(x

+ y

a =

+ zj − yk, S :

= 2(x

+ y

3x + 2y =12, 3x + y = 6, y = 0,

10.a = 4 i − 2yj − zk, S :

x + y + z = 6, z = 0.

a = 8

+ y =1, x = 0, y = 0,

11.

− 2yj

+ k, S :

= x

+ y

, z = 0.

= 3−

2(x

+ y

12.

a = 6

− 2yj

− zk,

S :

= x

+ y

, z

≥ 0.

13.

a = (y + 2z)i − yj + 3

+ y

S : 3z = 27 − 2(x

= x

+ y

, z ≥ 0.

+ y

=1,

14.

a = yi

+ 5yj + zk,

S : x

= x, z

= 0 (z ≥ 0).

+ y

= 2x,

+ (x +

S :

15.

a = yi

2y) j

= x

+ y

= 0.

			y = x, y = 2x, x =1,
16. a = (x + y + z)i	+ (2 − xy) j	+ (3z + y)k,	S :	2		2
				2	+ y	2	, z = 0.
			z = x		+ y		, z = 0.

102

			z = x2		+ y2,

17.	a = 7	i + zj + (x − y + 5z)k,		2	+ 2y2,
17.	a = 7	i + zj + (x − y + 5z)k,	S : z = x	2	+ 2y2,



			y = x,		y = 2x, x =1.

+ y

= z,

18.

a =

i +

2yj + 3zk, S :

= 2x.

+ y

=1,

19.

a =

(2y − 3z)i + (3x + 2z) j + (x + y + z)k,

= 4 − x − y, z = 0.

+ y

= 2y,

20.

a = −2

+ zj

+ (x

+ y)k,

S :

+ y

z = 0.

z = x

= x

+ y

21.

a =

(3x − y − z)i + 3yj + 2zk,

S :

= 2y.

y = 2x, y = 4x, x =1,

22.

a =

(2x + y)i + (y

+ z) j +

(z + x)k,

= 0.

z = y

= 2

−

4(x

+ y

+ (y

+ 2z)k,

23.

a = (2x + y)i

S :

= 4(x

+ y

= x

+ y

24.

a =

+ 7yj +11zk, S :

= 2(x

+ y

y = x

, y = x.

+ y

=1,

25.

a = zi

(3y − x) j

− zk, S :

= x

+ y

+ 2, z = 0.

§17. ЦИРКУЛЯЦІЯ І РОТОР. ПОТЕНЦІАЛЬНІ ТА СОЛЕНОЇДАЛЬНІ ПОЛЯ Основні теоретичні відомості

[1]– гл.ІХ, §3, с.496-522; [3]–глава ХV, §5-9, с.224-239, [4] – глава VIIІ, §2-3, с.333-338, [5] – ч.ІІ, глава ІI, §6, с.56-66.

Циркуляція і ротор

Нехай в області G задано векторне поле

a(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k ,

а L – гладка або кусково-гладка замкнена крива, розташована в цій області. Означення. Криволінійний інтеграл

∫a, dr = ∫P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz,

де dr = (dx,dy,dz), називається циркуляцією векторного поля a(x, y, z) вздовж кривої L.

103

Циркуляція залежить від вибору напряму на кривій L.

Зауваження. Якщо a силове поле, то циркуляція виражає роботу сили a при переміщенні матеріальної точки вздовж шляху L. Для полів іншої

природи циркуляція має інший фізичний зміст.

Означення. Вектор, який визначається рівністю

∂R

−

∂Q

∂P

−

∂R

∂Q

−

∂P

rot a

(x, y, z) =

∂y

∂z

∂x

∂y

або символічною формулою

rot a(x, y, z) =

∂

= [ ,a],

∂x

∂y

∂z

називають ротором або вихором вектора a(x, y, z) . Формула Стокса у векторній формі має вигляд

∫ a, dr	= ∫∫ rota,n0 dS
L	S

і означає наступне: циркуляція векторного поля a по довільному кусковогладкому замкненому контуру L дорівнює потоку вектора rota через поверхню S , обмежену цим контуром.

Потенціальне поле

Означення. Векторне поле a(x, y, z) , визначене в області G , називається потенціальним, якщо існує скалярна величина u(x, y, z), для якої a яв-

ляється градієнтом:
		∂u	∂u	∂u
a	= gradu =	,	,	= u,
		∂x	∂y
		∂x	∂y	∂z

тобто

P = ∂u , Q = ∂u , R = ∂u .

∂x ∂y ∂z

Або іншими словами, якщо вираз Pdx + Qdy + Rdz є повним диференціалом деякої функції u(x, y, z).

Функцію u називають потенціальною функцією векторного поля a . Теорема. Для того щоб поле a було потенціальним необхідно і достат-

ньо, щоб у всій області G виконувалась рівність rota = 0.

Якщо поле a потенціальне, то його циркуляція по довільному простому замкненому контуру дорівнює нулю, а криволінійний інтеграл

∫a, dr

залежить лише від положення початкової A та кінцевої B точок інтегрування і не залежить від форми кривої AB.

104

Потенціальну функцію вектора a можна знайти за формулою u(x, y,z) = ∫a, dr + C ,

M0M

де M0(x0, y0,z0) – фіксована точка поля, а M (x, y,z)			– змінна точка, інтег-
рування відбувається вздовж будь-якої кривої, що сполучає ці точки.
Зокрема, якщо обрати шлях інтегрування у вигляді ламаної, ланки якої
паралельні осям координат, то отримаємо
	x	y	z
u(x, y,z) = ∫ a,dr	+ C = ∫P(x, y0,z0)d x + ∫Q(x,y,z0)d y + ∫R(x, y,z)d z + C.
M0M	x0	y0	z0
Прикладом потенціального поля є поле тяжіння.

Соленоїдальне поле

Означення. Векторне поле a(x, y, z) , визначене в області G , називається соленоїдальним або трубчатим, якщо існує векторна величина

b(x, y, z) , для якої a являється ротором:

a = rotb = [ ,a].

Вектор b називають векторним потенціалом поля a .

Теорема. Для того щоб поле a було соленоїдальним необхідно і достатньо, щоб у всій області G виконувалась рівність

diva = 0.

Прикладом соленоїдального поля є швидкість течії рідини.

Питання для самоконтролю

1.Дайте означення циркуляції векторного поля.

2.Що називають ротором вектора a ?

3.Запишіть формулу Стокса у векторній формі.

4.Яке поле називають потенціальним?

5.Як знаходять потенціал поля?

6.Яке поле називають соленоїдальним?

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Знайдіть циркуляцію векторного поля

a = (z2 − x2)i + (x2 − y2) j + (y2 − z

2)k

+ y

+ z

= 4,

по контуру

+ y

= z

Розв’язання.

+ y

= 2,

Контуром інтегрування

L буде коло

отримане при пере-

тині сфери x2 + y2 + z2 = 4 і конуса x2 + y2 = z2 .

105

Обчислимо циркуляцію векторного поля за формулою Стокса.

		dydz		dxdz		dxdy
Ц = ∫	(z2 − x2)dx + (x2 − y2)dy + (y2 − z2)dz = ∫∫		∂		∂		∂	=
			∂x		∂y		∂z
L	S
		z2 − x2 x2 − y2 y2 − z2

= ∫∫2ydydz + 2zdxdz + 2xdxdy.

В якості поверхні S , для якої L буде межею виберемо круг S , для якого z = 2, x2 + y2 = 2 . За нормаль n0 приймемо одиничний вектор k , направлений по осі Oz, тобто n0 = k . Тоді:

		2π		2
∫∫2ydydz + 2zdxdz + 2xdxdy = 2 ∫∫xdxdy = 2 ∫			cosϕ dϕ ∫ ρ 2dρ = 0.
S	Dxy	0	0

Приклад 2. Переконайтеся, що векторне поле a = 2xy2i + (2x2 y + 3z) j + (3y + 2z)k

потенціальне та знайдіть його потенціал.

Розв’язання.

Знайдемо ротор вектора a :


		i		j	k
rot a =		∂	∂		∂	= (0,0,0) .
rot a =		∂x	∂y		∂z	= (0,0,0) .
		∂x	∂y		∂z
	2xy2 2x2 y + 3z 3y + 2z

Умова потенціальності поля виконується, отже поле a потенціальне. Тоді, обираючи в якості точки M0 точку (0,0,0) , отримаємо потенціал

x	y	z
u(x, y,z) = ∫2x 02d x + ∫(2x2 y+ 3 0)d y + ∫(3y + 2z)d z + C =
0	0	0

= 0 + x2 y2 y + (3yz+ z2) z + C = x2 y2 + 3yz + z2 + C .

Задачі для самостійного розв’язування

17.1. Знайдіть				циркуляцію		векторного		поля


a = (x − 2z)i + (x +				3y + z) j + (5x + y)k		по контуру трикутника з ве-
ршинами	A(1, 0, 0),				B(0,1, 0), C(0, 0,1).


17.2. Знайдіть циркуляцію векторного поля						a = zi −	j + yk	вздовж кон-
		2	+ y	2	−10,
z = x			+ y		−10,
туру L:

= −

z 1.

106

17.3.Знайдіть циркуляцію векторного поля a вздовж контуру L двома способами: безпосередньо і за формулою Стокса.

а) a = yzi + xzj + xyk, L:{x2 + y2 =1, z = 0 .

б) a = (z − y)i + (x − z) j + (y − x)k, L:{x2

+ z2 = R2,

= (z2 + y)i

+ zj +

(x2 − y)k,

=1, z

в) a

г) a = zi − yk, L:{x2 + y2 =1, x + 2z = 5}.

д) a = xyi + yzj + zxk,

L:{x2 + y2 =1,

x + y + z =1}.

y =1}.

0 .

17.4.В наступних задачах обчисліть циркуляцію векторного поля вздовж замкненого контуру L.

а) a = y2i + z2 j + x2k, L:{x + y + z = 3, x = 0, y = 0, z = 0}.

б) a = yi + zj + k, L:{x2	+ y2 + z2	= R2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

в) a = xyi + yzj + xzk, L:{x2 + y2 =1, x + y + z =1}.

г) a = y2i − x	2 j + z	2k, L:{x2	+ z2	=1− y, x = 0, y = 0, z = 0}.

17.5.Знайдіть циркуляцію векторного поля a вздовж замкненого контуру L (в напрямі зростання параметра t ).

x = 2cost,

y = 2sint,

+ yk, L:

а) a = zi

z = 0.

x = cost,

y = sint,

−

+ zk, L:

б) a = yi

z = 2.

x =

sint,

2 y

+ 2 j

+ xzk

cost, y =

в) a = −x

, L:

z =1.

= 3cost, y = 3sint,

+ xyk, L:

г) a = 6zi −

= 3.

Відповіді: 17.1. − 3. 17.2. − 9π .

17.3. а) 0. б) − 2πR2. в) 0.

г) − 2π . д) − π .

17.4. а) − 27 . б) − 3πR3. в) − 2 . г) − 31 . 17.5. а) 4π . б) 0. в) π . г) − 3π .

43 30

Розрахункові завдання

Задача 22. Знайдіть циркуляцію векторного поля a вздовж контуру L.

				2	+ y	2	+ z	2	= 9,
		+ xyk,	x		+ y		+ z		= 9,
			L :
1. a = yzi	− xzj		L :	2		2
				2	+ y	2	= 9.
			x		+ y		= 9.

107

2.a

3.a

4.a

5.a

6.a

7.a

8.a

9.a

10.a

11.a

12.a

13.a

14.a

15.a

+ y

− z

= 0,

= 4i + 3

j + 3xzk,

z = 3.

+ y

=1,

= (x + y)i − xxj + 6k, L:

z = 2.

+ y

= 4,

= 3zi − 2yj + 2yk,

2x − 3y − 2z =1.

= 4(x

+ y

)

+ 2,

= yi − 2 j + z2k,

= 6.

+ y

+ z

= 25,

= x2i + yzj + 2zk,

= 4.

= yi −

+ y

− 4

= 0,

j + 2 k, L: x

z = 2.

+ y

+ z

= 9,

= −yi

j + 3z2k,

L :

+ y

=1 (z > 0).

+ y

+ z

=16,

= 2yzi

+ xzj + y2k

L :

+ y

=16 (z > 0).

+ y

− z

= 0,

= −yi + 2 j + k, L

=1.

= x

+ y

−1,

= (2 − xy)i − yzj − xzk,

= 3.

+ y

=1,

= 4 i − xzj +

k, L:

+ y + z =1.

+ y

+ z

= 25,

= 2yz)i

+ xzj

− x2k,

L :

+ y

= 9 (z > 0).

x2 + y2 − 4z2 = 0,

= (x − y)i + j + z2k

, L :

z =

=1,

= 2yi + 5zj + 3 k,

+ y + z = 3.

108

+ y

= z,

16.

= 2yi

− 3 j + z0k,

L :

=1.

+ y

=1,

17.

= yi − j + z2k,

= 4.

+ y

= 9,

18.

a = xyi + yzj + xzk,

+ y + z =1.

= 3(x

+ y

) +1,

19.

= yi − j + z2k,

= 4.

= 5(x

+ y

) −1,

20.

a = xzi − j + yk,

= 4.

+ y

+ z

= 25,

21.

a = yzi

+ 2xzj

+ xyk, L:

+ y

= 9 (z > 0).

+ y

=1,

22.

a =

i + yzj −

+ y + z =1.

+ y

+ z

= 4,

23.

a =

4 i

+ 2 j − xyk,

+ y

=1 (z > 0).

+ y

+ z

= 4,

24.

= xzi

− j + yk,

=1.

+ y

=1,

25.

a = (x2

− y)i + j + k, L:

=1.

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2019103.94 Кб2Практика МЭО.doc
#
04.05.20192.6 Mб2ПРАКТИКА ОД.doc
#
08.06.2015128.51 Кб6практика.doc
#
08.06.2015239.1 Кб9практика.doc
#
08.06.2015109.06 Кб20Практика_адвокат_заочка.doc
#
08.06.20151.69 Mб22Практикум з вищої математики.pdf
#
08.06.201519.22 Кб25Практическая 4.docx
#
03.08.2019214.53 Кб2Практична робота5.doc
#
07.05.2019326.14 Кб2Практичне занятт1.doc
#
08.06.201533.86 Кб85ПРИВАТНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД.docx
#
11.11.2019264.7 Кб3программа по налоговой системе.doc