Приклади розв’язку типових задач

Приклад 1. По гладких горизонтальних рейках рухається платформа масою М із швидкістю . На передній край платформикладуть повільно (тобто без поштовху) вантаж масою m. Коефіцієнт тертя між цим вантажем і платформою рівний k. При якій мінімальній довжині l_min платформи вантаж не впаде з неї?

Розв’язання.

У початковий момент платформа як би вислизає з-під вантажу, але в результаті дії сили тертя швидкість платформи відносно землі зменшуватиметься, швидкість вантажу зростає. Вантаж не впаде з платформи, якщо за той час, який необхідний, щоб швидкість вантажу і платформи відносно землі порівнялися, зсув s' вантажу відносно платформи не перевищить її довжини, тобто

Таким чином, задача зводиться до знаходження відносного переміщення s' вантажу. Тому задачу зручно вирішувати в системі відліку, жорстко зв’язаній з платформою (рис. 2).

Рис. 2.

Проте ця система неінерціальна, оскільки протягом часу, поки рухається вантаж, на платформу діє сила тертя, що уповільнює її рух. У системі відліку хy, жорстко зв’язаній з рейками, проекцію на вісь Ох прискорення платформи знаходимо з II закону Ньютона:

Тут – прискорення платформи,– сила тертя ковзання між грузом і платформою. Таким чином

Зараз розглянемо рух вантажу в неінерціальній системі , пов’язаній з платформою.

У цій системі на вантаж діятимуть сила тяжіння Р, сила нормальної реакції N, сила тертя і сила інерції .Під дією всіх цих сил кінетична енергія змінюється від дона відстаніs' (у системі х'y' початкова швидкість вантажу). Очевидно, що величину s' слід визначати на підставі співвідношення між зміною кінетичної енергії тіла і роботою сил, що діють на це тіло.

Робота сили тяжіння і робота сили нормальної реакції опору рівні нулю внаслідок перпендикулярності вказаних сил напряму переміщення. Отже,

(1)

Робота сили тяжіння і робота сили інерції від’ємна, вони знаходяться за формулами:

Зміна кінетичної енергії вантажа (у системі х'y')

Тоді на підставі рівності (1) запишемо

,

звідки шуканий зсув вантажа відносно платформи

Отже, мінімальна довжина платформи, при якій вантаж не впаде з неї:

.

Приклад 2. Тіло знаходиться біля основи абсолютно гладкого клина з кутом = 20^о. Клин починає рухатися з горизонтальним прискоренням = 4 м/с². За який час тіло досягне верхньої точки клина. Довжина похилої площини l = 1 м.

Розв’язання.

Рис. 3.

В неінерціальній системі відліку, яка зв’язана з клином, на тіло діють такі сили: – сила реакції опори,– сила тяжіння,– сила інерції. Рівняння руху тіла вздовж осіОх буде мати вигляд:

,

де – прискорення тіла вздовж осіОх.

Поділивши праву і ліву частини рівняння на т, отримаємо

Запишемо рівняння руху для тіла, яке рухається вздовж похилої площини:

Оскільки , то рівняння руху запишеться як:

Тоді час руху тіла вздовж похилої площини буде

Підставивши числові значення отримаємо = 2,16 с.