Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-3

Определение

Векторные пространства V и W называются изоморфными, если существует линейное, биективное отображение

' : V 7 ! W.

Для изоморфных пространств используют обозначение V W.

Изоморфные пространства с алгебраической точки зрения не различимы.

Отображение ' : V 7 !Rn,

сопоставляющее вектору a 2 V столбец из его координат, является линейным и биективным отображением.

И, следовательно, осуществляет изоморфизм V Rn.

Этот изоморфизм называется координатным изоморфизмом.

Мы доказали важное

Утверждение

Любое векторное пространство V размерности n (dim V = n) изоморфно Rn : V Rn.

Легко убедиться в том, что

если V Rn и W Rn, то V W.

Следовательно, справедливо

Утверждение

Векторные пространства V и W одинаковой размерности (dim V = dim W) изоморфны: V W.

Изоморфизм векторных пространств V и W

одинаковой размерности легко установить непосредственно.

Пусть e1; e2; : : : ; en базис в пространстве V

и f1; f2 ; : : : ; fn базис в пространстве W

и пусть V 3 a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen,

определим ' : V 7 ! W положив,

'(a) = a1f1 + a2f2 + : : : + anfn.

Т.е., соответствующими векторами в пространствах V и W являются векторы, имеющие одинаковые координаты в выбранных базисах.

В частности, '(ej) = fj .

Упр . Показать, что таким образом, действительно, задан изоморфизм векторных пространств V и W.

Описанный изоморфизм пространств V и W называется изоморфизмом по равенству координат.

Векторные подпространства

Определение

Ясно, что любое подпространство можно получить таким образом.

Наиболее важными для нас будут случаи: k = 1 ; 2 ; n 1 .

Резюме

Утверждение

В любом конечномерном векторном пространстве V существует полное линейно независимое множество векторов.

Определение

Каждое полное линейно независимое множество векторов называется базисом векторного пространства V.

Теорема

Все базисы конечномерного векторного пространства V состоят из одного и того же числа векторов n .

Это число называется размерностью векторного пространства V и обозначается n = dim V.

Пусть e1; e2; : : : ; en базис векторного пространства V.

Соотношение a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen

называется разложением вектора a 2 V по базису e1; e2; : : : ; en.

Числа a1; a2; : : : ; an определены однозначно и называются координатами вектора a 2 V в базисе e1; e2; : : : ; en.

Отображение ' : V 7 !Rn, сопоставляющее вектору a 2 V столбец из его координат, является линейным и биективным отображением.

И, следовательно, осуществляет изоморфизм V Rn. Этот изоморфизм называется координатным изоморфизмом.

Утверждение

Любое векторное пространство V размерности n (dim V = n) изоморфно Rn : V Rn.

Утверждение

Векторные пространства V и W

одинаковой размерности (dim V = dim W) изоморфны: V W.

Определение

Подмножество U векторного пространства V ; U V, само являющееся векторным пространством, называется векторным подпространством .

Парадокс Аристотеля

Две концентрические окружности, скреплённые радиусом, катятся каждая по своей полочке.

Угол поворота одинаковый 360 .

Длина большей окружности равна длине нижней полочке. Длины верхней и нижней полочек равны.

Длины окружностей равны?