Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-13
.pdf
Лекция 13
Конические сечения
Эллипсы, гиперболы и параболы можно получать как сечения прямого кругового конуса.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
1 / 27 |
фильм ¾сечение - эллипс.swf¿ |
фильм ¾сечение - парабола.swf¿ |
фильм ¾сечение - гипербола.swf¿ |
Мы должны доказать что кривая, получающаяся при пересечении конуса и плоскости является эллипсом, гиперболой или параболой.
Для этого будет использована изящная конструкция с вписанными в конус сферами.
Эту конструкцию предложил в 1822г. бельгийский математик и инженер Данделен (1794 - 1847).
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
2 / 27 |
Сферы Данделена
Использование фокального свойства для эллипса
Одна сфера, вписанная в конус касается плоскости сечения сверху, а другая сфера, вписанная в конус касается плоскости сечения снизу, F и F 0 точки касания сфер
с плоскостью сечения.
jP F j + jP F 0j = jP Qj + jP Q0j = jQQ0j = const.
На основании фокального свойства сечение является эллипсом, а F и F 0 его фокусы.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
3 / 27 |
Использование фокального свойства для гиперболы
Аналогично, в случае когда плоскость пересекает две полы конуса.
jBF2j jBF1j = jBP2j jBP1j = jP1P2j = const.
На основании фокального свойства сечение является гиперболой, а F1 и F2 его фокусы.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
4 / 27 |
Использование директориального свойства для эллипса
jXT j jXF1j = jXY j = , cos
jXZj = jXT j =) cos
jXF1j |
= |
cos |
= const . |
jXZj |
|
||
|
cos |
||
На основании директориального свойства сечение является эллипсом,
F1 фокус эллипса, l директриса ,
cos
= e эксцентриситет.
cos
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
5 / 27 |
Использование директориального свойства для гиперболы и параболы
Аналогично, используя директориальное свойство гиперболы и параболы можно доказать, что кривая, получающаяся в сечении конуса плоскостью в случае б) есть гипербола;
а в случае в) парабола.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
6 / 27 |
Эллипс можно получить как сечение цилиндра плоскостью.
Сферы, вписанные в цилиндр, касаются секущей плоскости в фокусах эллипса, прямые, по которым пересекаются секущая плоскость и плоскости, проходящие через экваторы сфер являются директрисами эллипса.
jMF1j + jMF2j = jP Qj = const.
.P
F2.
.F1 .
M
L 
.ϕ .Q
rMQ
e = |
|
= |
|
= sin ', |
|
|
dML
где ' двугранный угол между секущей плоскостью и горизонтальной.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
7 / 27 |
Законы Кеплера
Иоганн Кеплер (1571 1630 ) немецкий астроном, математик, оптик и астролог.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
8 / 27 |
Первый закон Кеплера
Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, а кометы по эллипсам, гиперболам или параболам, причём, Солнце находится в одном из фокусов.
фильм¾Первый закон Кеплера.gif¿
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
9 / 27 |
Гелиоцентрическая система мира
представление о том, что Солнце является центральным небесным телом, вокруг которого обращается Земля и другие планеты.
Возникло в античности, но получило широкое распространение с конца эпохи Возрождения.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
10 / 27 |