Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-15

Пусть V n–мерное евклидовое пространство,

и

e1; e2; : : : ; en базис в V.

; e2i

he2

; eni3

2e2 3

2he2

; e1i he2

6

e1

7 e1 e2 en

e1

; e1

e1

; e2

e1

; en

...

6h

i h

i

h

i7

= G.

6e

7

6 e

n

; e

1

e

n

; e

2

e

n

; e

n

7

6

n7

6

i h

i h

7

4

5

4h

i5

G матрица Грама ;

hej; eki = gjk .

Базис h1; h2; : : : ; hn

ортонормирован, если

2h2

3

1 ; j = k

6

h1

7 h1 h2 hn = I ;

hhj; hki = jk = 0 ; j 6= k ,

...

6h

7

6

n7

jk символ Кронекера.

4

5

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

1 / 34

Пусть

x = x1e

1

+ x2e

2

+ : : : + xne

n

и

!

!

1

+ y2e

2

+ : : : + yne

n ,

y = y1e

n

тогда

h! !i

=

j;X

j

k

.

gjk x

y

x ; y

Пусть

x = x1h

1

+ x2h

2

+ : : : + xnh

n

и

!

!

1

+ y2h

2

+ : : : + ynh

n ,

y = y1h

тогда

x ; y

= x1y1 + x2y2 + : : : + xnyn

.

h! !i

Кроме того x

j

x ; h

ji ,

yj =

y ; h

ji.

= h!

h!

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

2 / 34

2e2

3

2h2

3

e1

7 e1 e2 en

h1

7 h1 h2 hn

6 ...

= G ;

6 ...

= I ;

6e

7

6h

7

6 n7

6

n7

4

5

4

5

hej; eki = gjk ,

hhj; hki = jk .

2e2

3

1

2

n

k

e1

7

e

= I ,

если

6 ...

e

e

hej; e i = jk .

6e

7

6

n7

4

5

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

3 / 34

Условия на вектор ek

ek

ek

he1; eki = 0; hek 1; eki = 0;

hek+1; e

k

i = 0; hen; e

k

i = 0;

ek+1

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

4 / 34

Пример n = 2

e2

Имеется базис e1; e2

e2

сопряжённый базис e1; e2

определяется соотношениями:

e1

he1; e1i = 1 ; he2; e1i = 0 ;

e

1

he1; e2i = 0 ; he2; e2i = 1.

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

5 / 34

Пример n = 3

e

3

Теорема

e1 =

e2 e3

,

e2 =

e3 e1

,

e3 =

e1 e2

.

(e1; e2; e3)

(e1; e2; e3)

(e1; e2; e3)

e1 e2 : : : en = e1 e2 : : : en C

C = ? C = G !!

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

7 / 34

Утверждение

e1

e2 : : : en

= e1 e2 : : : en

G 1

1

e

2

: : : e

n

e1 e2 : : : en = e

G,

где G матрица Грама базиса

e1; e2; : : : ; en.

J Достаточно проверить выполнение соотношения

2e2

3

1 2

n

e1

7 e e e

= I :

6 ...

6e

7

6

n7

e1

3

e1

3

4

5

2e2

e

1

e

2

e

n

=

2e2

e1 e2 : : : en

G

1

= GG

1

= I. I

6 ...

7

6 ...

7

6e

7

6e

7

6 n7

6

n7

4

5

4

5

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

8 / 34

1

2e2

3

1 2

n

k

e1

7 e e e

= I ,

6 ...

hej; e i = jk

6e

7

6

n7

4

5

e1

3

2

2e2

e1 e2 en

= I ,

j

; eki = jk

6 ...

7

he

6en7

6

7

4

5

3

e1 e2 : : : en = e1 e2 : : : en G

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

9 / 34

Упр. Доказать, что если

G матрица Грама базиса e1; e2; : : : ; en ,

то матрицей Грама сопряжённого базиса e1; e2; : : : ; en

является матрица G 1.

Упр. Доказать, что базис

e1; e2; : : : ; en и

сопряжённый базис

e1; e2; : : : ; en

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 15

10 декабря 2011 г.

10 / 34