Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-3
.pdf
Лекция 3
Пусть V векторное пространство.
Мы хотим иметь возможность любой вектор a 2 V записывать как линейную комбинацию
a = 1e1 + 2e2 + : : : + mem
фиксированного набора векторов
e1; e2; : : : ; em 2 V (желательно однозначно)
Мы уже выяснили за счёт чего можно добиться однозначности (единственности) разложения
за счёт линейной независимости векторов e1; e2; : : : ; em .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
1 / 30 |
Вопрос о существовании разложения решим, введя новое понятие.
Определение
Множество векторов e1; e2; : : : ; em 2 V называется полным, если любой вектор a 2 V линейно выражается через e1; e2; : : : ; em :
a = 1e1 + 2e2 + : : : + mem .
Определение
Векторное пространство называется конечномерным, если существует конечное полное множество векторов.
Бесконечномерные пространства существуют.
В конце этой лекции мы обсудим примеры линейных пространств, рассмотренные на первой лекции и выясним, какие из них являются конечномерными, а какие бесконечномерными.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
2 / 30 |
Полное множество векторов e1; e2; : : : ; em может быть линейно зависимым.
Но тогда из него можно удалить один вектор так, чтобы оставшееся множество также было полным.
Действительно, если вектора e1; e2; : : : ; em линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные
m
X
ej0 = jej ,
j=1; j6=j0
и если a = 1e1 + : : : + j0 ej0 + : : : + mem ,
то ej0 можно исключить и после приведения подобных членов
m |
|
получить a = j=1X; j6=j0 |
jej . |
Если оставшиеся векторы fejgj6=j0 всё ещё линейно зависимы, то можно удалить ещё один вектор без ущерба для полноты.
Так до тех пор, пока оставшееся множество векторов не станет линейно независимым (оставшись полным).
Таким образом, доказано
Утверждение
В любом конечномерном векторном пространстве V существует полное линейно независимое множество векторов.
Определение
Каждое полное линейно независимое множество векторов называется базисом векторного пространства V.
Теорема
Все базисы конечномерного векторного пространства V состоят из одного и того же числа векторов n.
Это число называется размерностью векторного пространства V 
и обозначается n = dim V.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
4 / 30 |
Упр. Допустим в пространстве V есть два базиса
fe1; e2g и fg1; g2; g3g. Получить противоречие.
См., Постников М.М. Аналитическая геометрия. 1979
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
5 / 30 |
Итак, пусть e1; e2; : : : ; en базис векторного пространства V (т.е. полный линейно независимый набор векторов).
Тогда любой вектор a 2 V записывается как их линейная комбинация
a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen. |
(*) |
Числа a1; a2; : : : ; an определены однозначно и называются координатами вектора a 2 V в базисе e1; e2; : : : ; en.
Существование чисел a1; a2; : : : ; an обеспечивается полнотой базиса e1; e2; : : : ; en ,
а их единственность его линейной независимостью.
Соотношение (*) называется разложением вектора a 2 V по базису e1; e2; : : : ; en.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
6 / 30 |
Вопрос . Почему разные векторы a , ae 2 V ; a 6= ae
не могут иметь одни и те же координаты ?
Координаты вектора зависят от выбранного базиса.
Важный вопрос о том каковы координаты того же вектора в другом базисе, будет обсуждаться позже.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
7 / 30 |
Примеры базисов в векторных пространствах
I. Радиус-векторы
На плоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис
a= a1e1 + a2e2 .
Впространстве любые три некомпланарных вектора образуют базис
a= a1e1 + a2e2 + a3e3 .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
8 / 30 |
2a13
6a27
III. Столбцы длины n . a = 6 . 7 2 Rn.
6 .. 7
4 5 an
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
203 |
|
|
|
|
213 |
|
|
|
|
|
20. |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
векторы |
|
|
e1 = |
60.. |
7 |
; |
e2 |
= 60.. |
7 |
; : : : ; |
|
en = |
6.. |
7. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6. |
7 |
|
|
|
|
6. |
7 |
|
|
|
|
|
607 |
|
|
|
|
|
|
|
|
607 |
|
|
|
|
607 |
|
|
|
|
|
617 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
6 7 |
|
|
|
|
6 7 |
|
|
|
|
|
6 7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
|
|
4 5 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
a1 |
3 |
|
|
0 |
3 |
|
|
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
a2 |
3 |
|
2 |
0 |
|
2a2 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
a |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= 6 .. |
7 |
|
6 |
|
7 + : : : + |
6 |
|
7 |
|
|
|
|||||
Имеем |
a = ... |
|
+ |
.. |
.. |
= |
|
||||||||||||||
|
|
6 |
|
n7 |
|
6 . |
7 |
|
6 |
. |
7 |
|
|
6 |
. |
7 |
|
|
|
||
|
|
6a |
|
7 |
|
6 |
0 |
7 |
|
6 |
0 |
7 |
|
|
6an7 |
|
|
|
|||
|
|
6 |
|
|
7 |
|
6 |
|
7 |
|
6 |
|
7 |
|
|
6 |
|
7 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
4 |
|
5 |
|
4 |
|
5 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
= a1e1 + a2e2 + : : : + anen,
то есть, множество векторов e1; e2; : : : ; en полное. 
Покажем, что оно линейно независимое.
Допустим, что 1e1 + 2e2 + : : : + nen = 0,
|
2 2 |
3 |
|
|
203 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть, |
6 ... |
= |
6... |
7 |
|
() |
|
j = 0 |
|
8j. |
|
|
|||||
|
6 |
7 |
|
|
607 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 n7 |
|
|
6 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
5 |
|
|
4 5 |
203 |
|
|
|
213 |
|
|
203 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
0 |
7 |
|
|
0 |
|
Значит, векторы |
|
e1 = |
60. |
; |
e2 |
= |
60. |
; |
: : : ; en = |
6... |
7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
6. |
7 |
|
|
|
6. |
7 |
|
|
607 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
7 |
|
|
|
6. |
7 |
|
|
6 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
607 |
|
|
|
607 |
|
|
617 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
6 7 |
|
|
|
6 7 |
|
|
6 7 |
|||
образуют базис в |
|
Rn. |
|
4 5 |
|
|
|
4 5 |
|
|
4 5 |
||||||
Мы доказали, что |
dim Rn = n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
10 / 30 |