Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-13
.pdf
Однако, начиная со II в. до н.э. в представление об устройстве мироздания, господствует геоцентрическая система мира согласно которой центральное положение во Вселенной занимает неподвижная Земля, вокруг которой вращаются Солнце, Луна, планеты и звёзды.
Для объясненения сложного видимого движения планет приходилось вводить эпициклы.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
11 / 27 |
Возвращение к гелиоцентрической системе мира произошло через полторы тысячи лет, благодаря Копернику.
Кеплер был среди не многочисленных сторонников учения Коперника.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
12 / 27 |
Второй закон Кеплера
Радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, за равные промежутки времени описывает равные площади.
фильм¾Второй закон Кеплера.swf¿
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
13 / 27 |
Третий закон Кеплера
|
T 2 |
|
T 2 |
|
|
1 |
= |
2 |
|
|
a3 |
a3 |
||
|
|
|||
1 |
|
2 |
|
|
где |
T1 |
и T2 периоды обращения |
||
двух планет вокруг Солнца, а a1 и a2 длины больших полуосей их орбит.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
14 / 27 |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
15 / 27 |
Полярная система координат
Полярная система координат на плоскости задаётся |
|
начальной точкой O |
|
и осью (направленной полупрямой), |
|
выходящей из начальной точки. |
O |
M
r
ϕ
Каждая точка M на плоскости характеризуется парой чисел (r; '), где r расстояние от точки M до точки O,
!
а ' угол от оси до радиус-вектора OM.
Если на плоскости введена ещё и декартова (прямоугольная) система координат,
связанная с полярной так как указано на рисунке, то декартовы координаты выражаются через полярные следующим образом:
x = r cos '; y = r sin '.
y
M
r
ϕ
O |
x |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
16 / 27 |
Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
На плоскости имеется эллипс, гипербола или парабола. Введём полярную систему координат. В качестве начальной точки возьмём один из фокусов кривой, а ось полярной системы координат направим вдоль фокальной оси кривой.
d |
M |
d |
M |
d |
ρ |
M |
|||
ρ |
|
r |
ρ |
|
p N r |
N |
N r |
||
p |
|
p |
||
|
ϕ |
ϕ |
ϕ |
|
F |
|
F |
|
F |
l |
l |
l |
Пусть M точка на кривой, её полярные координаты (r; '),
F N перпендикуляр к фокальной прямой, p фокальный параметр. Напишем директориальное свойство для точек M и N :
rp
= e; = e имеем,
d%
r = ed = e(r cos ' + %) = er cos ' + p, |
следовательно, |
||
r = er cos ' + p =) |
r = |
p |
. |
|
|||
|
|||
1 e cos '
Таким образом, уравнение эллипса, гиперболы и параболы
|
M |
M |
M |
|
|
|
|||
p |
r |
r |
r |
|
p |
p |
|||
ϕ |
||||
|
ϕ |
ϕ |
||
F |
|
F |
F |
|
l |
|
l |
l |
|
в полярной системе координат пишется так: |
p |
|||
r = |
||||
|
|
|
1 e cos ' |
|
где p фокальный параметр, а e эксцентриситет.
Замечание. |
|
|
|
В случае гиперболы, выписанное уравнение |
M |
||
задаёт только правую ветвь. |
|
||
Левая ветвь гиперболы в той же полярной |
|
||
системе координат задаётся уравнением: |
|
||
r = |
p |
(показать). |
|
1 + e cos ' |
|
||
|
|
|
|
r
ϕ
F
l
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
18 / 27 |
Упр. (См. Моденов, Пархоменко №804.) Две вершины треугольника закреплены в точках A и B , а третья вершина C
перемещается так, что угол при вершине A остаётся всё время вдвое больше угла
при вершине B.
Найти линию, описываемую вершиной C.
Указание. Ввести полярные координаты. За начальную точку взять A,
ось полярной системы координат направить вдоль AB.
Ответ. Искомая линия ветвь гиперболы. Точка A фокус, лежащий внутри этой ветви. Точка B вершина другой ветви.
Фокальный параметр p = jABj. Эксцентриситет e = 2.
Угол между асимптотой и фокальной осью равен 60 .
∙
C
∙
3a
2ϕ
∙
a A
Уравнение эллипса, гиперболы и параболы отнесённое к вершине
У параболы (в канонической системе координат) начало координат находится в вершине,
чтобы эллипс и гиперболу удобно было сравнивать с параболой, мы и в случае эллипса и гиперболы также начало координат будем помещать в одной из вершин (а не в центре).
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 13 |
26 ноября 2011 г. |
20 / 27 |