Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-14
.pdf
Лекция 14
Пусть V евклидово пространство |
dim V = n , |
a1; a2; : : : ; ak 2 V |
k |
X
L(a1; a2; : : : ; ak) = a 2 V : a = jaj ; j 2 R
j=1
линейная оболочка, образует подпространство
(a1; a2; : : : ; ak не предполагаются линейно независимыми).
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
1 / 23 |
Объём параллелепипеда
|
k |
Y |
(a1; a2; : : : ; ak) = na 2 V : a = j=1 jaj ; 0 j 1o |
X |
назовём параллелепипедом, построенным на векторах a1; a2; : : : ; ak
Примеры:
Самостоятельно рассмотреть случаи когда векторы линейно зависимы.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
2 / 23 |
Пусть векторы a1; a2; : : : ; ak линейно независимыми
и векторы h1; h2; : : : ; hk
получены из них ортогонализацией Грама-Шмидта (см. лекцию 7).
Тогда jhkj = 1; hk ? a1; a2; : : : ; ak 1,
hk = c1ka1 + c2ka2 + + ckkak ; ckk > 0 ; поэтому hhk; aki > 0.
Число h(a1; a2; : : : ; ak) = hhk; aki
назовём высотой параллелепипеда
Q
(a1; a2; : : : ; ak)
Q
с основанием (a1; a2; : : : ; ak 1).
Объём параллелепипеда, построенного на векторах a1; a2; : : : ; ak, обозначим V(a1; a2; : : : ; ak).
Определение
Если векторы a1; a2; : : : ; ak линейно зависимыми, то
V(a1; a2; : : : ; ak) = 0.
Если векторы a1; a2; : : : ; ak линейно независимыми, то по индукции: V(a1) = ja1j,
V(a1; a2; : : : ; ak) = V(a1; a2; : : : ; ak 1) h(a1; a2; : : : ; ak).
Из определения не следует независимость объёма V(a1; a2; : : : ; ak) от порядка векторов.
Эта независимость будет ясна из дальнейшего.
Понятно, что если векторы |
a1; a2; : : : ; ak |
линейно независимы, |
|
то V(a1; a2; : : : ; ak) > 0. |
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
V(a1; a2; : : : ; ak) = 0 |
() a1; a2; |
: : : ; ak линейно зависимы. |
|
|
|||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
4 / 23 |
Лемма |
|
|
a1; a2; : : : ; ak |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть векторы |
линейно независимыми и векторы |
|
|||||||
h1; h2; : : : ; hk |
получены из них ортогонализацией Грама-Шмидта. |
|
|||||||
Пусть B матрица перехода: |
|
|
|
|
|||||
a1 a2 a3 : : : ak = h1 h2 h3 : : : hk B. |
|
||||||||
Тогда V(a1; a2; : : : ; ak) = det B. |
|
|
|
||||||
J |
2 |
0 |
b22 |
b23 |
|
b2k3 |
|
|
|
|
b11 |
b12 |
b13 |
|
b1k |
7 , |
|
|
|
B = |
6 |
0 |
0 |
b33 |
|
b3k |
bjj > 0 (см. лекцию 7). |
||
|
6 |
0 |
0 |
0 |
|
b |
7 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
kk |
7 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
det B = b11 b22 b33 bkk > 0 . |
|
aj = b1jh1 + b2jh2 + + bjjhj |
|
h(a1; a2; : : : ; aj) hhj; aji = bjj |
|
Теперь по индукции легко доказывается, что |
|
V(a1; a2; : : : ; ak) = b11 b22 b33 bkk. |
I |
Теорема 1
Пусть a1; a2; : : : ; an векторы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
e1; e2; : : : ; en |
ортонормированный базис |
и |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
a |
2 |
a |
3 |
: : : |
a |
n |
|
e |
1 |
e |
2 |
e |
3 |
: : : |
e |
n |
a11 |
a12 |
||
|
a |
|
|
|
= |
|
|
|
|
A т.е. , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a21 a22 |
|||
|
a1 |
a2 |
a3 |
: : : an |
= e1 e2 e3 : : : en |
6a31 a32 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6a |
a |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
n1 |
|
|
Тогда |
|
V(a1; a2; : : : ; an) = j det Aj. |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a1; a2; : : : ; an |
линейно зависимы |
|
|
0 = 0 . |
||||||||||||||||
|
2 |
a1; a2; : : : ; an |
линейно независимы. |
|
|
|
||||||||||||||||
a23 |
|
a2n3 |
|
a13 |
|
a1n |
7. |
a33 |
|
a3n |
|
a |
|
a |
7 |
n3 |
nn7 |
||
|
|
|
5 |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
6 / 23 |
Пусть векторы h1; h2; : : : ; hn получены ортогонализацией
Грама-Шмидта векторов a1; a2; : : : ; an |
при этом |
a1 a2 : : : an = h1 h2 : : : hn B , |
(X) |
и V(a1; a2; : : : ; an) = det B.
Пусть матрица Q связывает два ортонормированных базиса
e1 e2 : : : en = h1 h2 : : : hn Q , |
(}) |
|||
Тогда матрица Q ортогональна: |
Q>Q = I (см. лекцию 8). |
|||
По условию |
a1 |
a2 : : : an = |
e1 e2 : : : |
en A , (}}) |
(}) 7 !(}}) : |
a1 a2 : : : an = h1 h2 : : : hn QA. |
|||
Ср. с (X) |
=) |
h1 h2 : : : hn B = h1 |
h2 : : : hn QA =) |
|
|
=) |
B = QA. |
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
7 / 23 |
V(a1; a2; : : : ; an) = det B = det QA = det Q det A.
Итак, V(a1; a2; : : : ; an) = det Q det A
Так как |
Q |
ортогональна: |
Q>Q = I |
, то |
det Q = |
|
1 |
(см. лекцию 8). |
|
|
|
|
|||||
Поэтому, |
V(a1; a2; : : : ; an) = j det Qj j det Aj = j det Aj I |
|||||||
Следствия
Независимость объёма параллелепипеда V(a1; a2; : : : ; an) от порядка векторов.
Геометрическая интерпретация величины определителя.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
8 / 23 |
Определим матрицу Грама набора векторов:
2a2 |
3 |
|
|
|
a1 |
7 |
|
ak |
|
G(a1; a2; : : : ; ak) = 6 ... |
a1 a2 |
= |
||
6a |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
6 k |
7 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
= |
2ha2 |
; a1i |
ha2 |
; a2i |
ha2 |
; aki3. |
|||||||
|
ha1 |
; a1i |
ha1 |
; a2i |
ha1 |
; aki |
|||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|||
|
6 |
ak |
; a1 |
i |
h |
ak |
; a2 |
i |
|
h |
ak |
; ak |
7 |
|
4h |
|
|
|
|
|
|
i5 |
|||||
Упр. Векторы fa1; a2; : : : ; akg линейно зависимы ()
() det G(a1; a2; : : : ; ak) = 0 .
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
9 / 23 |
Утверждение
V(a1; a2; : : : ; ak) = pdet G(a1; a2; : : : ; ak).
J Пусть |
|
e1; e2; : : : ; ek |
ортонормированный базис и |
||||||||||||||||||||
|
a |
1 |
a |
2 |
a |
3 |
: : : a |
k |
a1 |
1 |
e |
2 |
e |
3 |
: : : e |
k |
A |
, |
e1 |
|
|||
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
G(a1; a2; : : : ; ak) = |
2a2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2e2 |
3 |
|||||||||||
6 ... |
7 a1 a2 ak |
= A>6 ... |
7 e1 e2 ek A = |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6a |
k |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6e |
k |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
= A>A.
Значит, det G(a1; a2; : : : ; ak) = (det A)2.
В силу Теоремы 1 V(a1; a2; : : : ; ak) = j det Aj,
поэтому V(a1; a2; : : : ; ak) = pdet G(a1; a2; : : : ; ak). I
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 14 |
3 декабря 2011 г. |
10 / 23 |