Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-1
.pdf
НГУ, ММФ, 1-ый курс
Аналитическая геометрия
конспект лекций
лектор д.ф.-м.н. Гордиенко Валерий Михайлович
2011 2012
Лекция 1
Аналитическая геометрия это (если сказать коротко) метод координат.
Именно, использование координат позволяет многие геометрические задачи свести к алгебраическим,
а алгебраические задачи в свою очередь, получают наглядную геометрическую интерпретацию.
Аналитическая геометрия наука аксиоматическая.
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
3 / 33 |
В аксиоматической теории понятия бывают двух типов: не определяемые и определяемые.
Один из возможных выборов такой:
не определяемые понятия |
определяемые понятия |
точка; прямая; плоскость |
векторы |
|
|
Полный список аксиом состоит из 20-ти штук.
См., Ильин А.В., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. 2001.
В нашем курсе выбор следующий:
не определяемые понятия |
определяемые понятия |
векторы; точка |
прямая; плоскость |
|
|
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
4 / 33 |
Векторы
Переходим к аксиоматическому изложению векторов. В начале приведём один важный пример векторов. Рассматриваем наше трёхмерное пространство.
Векторы направленные отрезки с общим началом в точке O.
Такие векторы ещё называют радиус-векторами.
Обсуждаем вопрос: что можно делать с векторами ?
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
5 / 33 |
Определяют две операции
1: Сложение любых двух векторов a и b , в результате получается новый вектор a + b .
2: Умножение вектора a на число ,
в результате получается новый вектор a .
Обозначим через V множество всех векторов, 
а через R множество вещественных чисел.
Можно доказать, что для так введённых операций справедливы свойства (теоремы):
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
6 / 33 |
1
2
3
4
5
6
7
8
a + (b + c) = (a + b) + c ; |
8a; b; c 2 V |
ассоциативность |
|
a + b = b + a ; |
8a; b 2 V |
коммутативность |
|
90 2 V : 0 + a = a ; |
8a 2 V |
существование нулевого вектора |
0 |
8a 2 V 9b 2 V : a + b = 0 |
|
|
|
b = a (обозначение) |
|
существование противоположного вектора |
a |
|
( + )a = a + a ; |
8; 2 R ; |
8a 2 V |
( )a = ( a) ; |
8; 2 R ; |
8a 2 V |
(a + b) = a + b ; |
8 2 R ; |
8a; b 2 V |
1 a = a ; |
8a 2 V |
|
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
7 / 33 |
В нашем курсе понятие вектора вводится аксиоматически. То есть, мы не отвечаем на вопрос: что такое векторы ? Векторами может быть всё что угодно.
Мы отвечаем на вопрос: что с векторами можно делать ?
Определение
Множество V называется векторным пространством, а его элементы a 2 V называются векторами
если определены две операции:
8a; b 2 V |
(a; b) 7 !c = a + b |
8a 2 V; 8 2 R |
(; a) 7 !d = a |
и эти операции удовлетворяют аксиомам 1. 8.
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
8 / 33 |
Обобщение.
При умножении вектора на число в качестве чисел используют не только вещественные числа.
Можно использовать вместо чисел элементы любого поля K.
Например, |
K = Q рациональные числа, |
или |
K = C комплексные числа. |
Заметим, что существуют поля с конечным числом элементов.
В нашем курсе будут использоваться два поля: поле вещественных чисел R
и поле комплексных чисел C.
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
9 / 33 |
Примеры векторных пространств
I. Радиус-векторы, т.е. направленные отрезки, отложенные от фиксированной точки.
Можно рассматривать векторы в пространстве, векторы на плоскости,
и даже можно ограничиться только векторами на прямой.
При этом 0 = !, |
|
|
|
|
OO |
|
a = OA! |
|
OA |
|
|
а если |
a = !, то |
|
0, |
где A0 |
точка симметричная точке A . |
||
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
10 / 33 |