Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-16
.pdf
Лекция 16
Сферическая тригонометрия
посмотрим фильм ¾Кратчайшая¿
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
1 / 22 |
Трёхгранные углы и сферические треугольники
Трёхгранные углы характеризуются двугранными углами при рёбрах и плоскими углами между рёбрами.
Возьмём сферу радиуса r с центром в вершине угла.
Фигура, которая получается в пересечении этой сферы 
с трёхгранным углом, называется сферическим треугольником.
A
O
C
B
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
2 / 22 |
Углы сферического треугольника равны двугранным углам трёхгранного угла A; B; C.
Длины сторон сферического треугольника пропорциональны
^
плоским углам трёхгранного угла AB = rc .
Мы будем измерять длины сторон сферического треугольника плоскими углами трёхгранного угла a; b; c .
Всегда выполнено 0 < a; b; c; A; B; C < .
A
O
C
B
Сферическая тригонометрия имеет своим предметом решение сферических треугольников.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
3 / 22 |
Признаки равенства сферических треугольников 
I: по двум сторонам и углу между ними
II: по стороне и двум прилежащим углам
III: по трём сторонам
IV: по трём углам
Первые три признака равенства сферических треугольников доказываются также как и для плоских треугольников. Четвёртый будет доказан позже.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
4 / 22 |
Теорема косинусов стороны
cos a cos b cos c
cos A =
sin b sin c
J u = ! |
! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
OA ; |
v = OB ; |
|
w = OC ; |
|
|
|
|
|||||
cos A = |
hu v ; u wi |
|
= (см. лекцию 9) |
|
|
|||||||||
ju vj ju wj |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
det |
hu; ui |
hu; wi |
|
|
|
det |
r2 |
r2 cos b |
|
|
|||
= |
|
hv; ui |
hv; wi |
|
= |
|
|
r2 cos c |
r2 cos a |
. I |
||||
ju vj ju wj |
r2 sin c r2 sin b |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теорема косинусов известна под названием формулы Альбатегния (математик, живший во второй половине X века).
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
5 / 22 |
Вычисление расстояния расстояния между двумя точками на сфере по географическим координатам
|
A |
|
A |
c |
b |
|
b |
C |
|
c |
|
|
|
C |
|
B |
|
B |
a |
|
|
||
|
O |
|
|
G K |
L |
|
|
Широты точек B и C позволяют вычислить стороны c и b. Долготы точек B и C позволяют вычислить угол A.
Тогда по теореме косинусов стороны
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
можно вычислить сторону a.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
6 / 22 |
Теорема синусов |
|
|
|||
|
sin A |
= |
sin B |
= |
sin C |
|
|
|
|
||
|
sin a |
sin b |
sin c |
||
|
|
|
|||
J sin2 A = 1 cos2 A =
sin2 b sin2 c (cos a cos b cos c)2
= =
sin2 b sin2 c
(1 cos2 b)(1 cos2 c) (cos a cos b cos c)2
= =
sin2 b sin2 c
1 (cos2 a + cos2 b + cos2 c) + 2 cos a cos b cos c
=
sin2 b sin2 c
sin2 A |
= |
|
1 (cos2 a + cos2 b + cos2 c) + 2 cos a cos b cos c |
, |
||||
sin2 a |
|
|
||||||
|
|
|
|
sin2 a sin2 b sin2 c |
||||
sin2 A |
= |
sin2 B |
= |
sin2 C |
I |
|||
|
|
|
|
. |
||||
sin2 a |
|
sin2 b |
sin2 c |
|||||
Упр. Доказать что |
|
||
cos a = |
cos A + cos B cos C |
теорема косинусов угла |
|
sin B sin C |
|||
|
|
||
Зам.
По поводу теорем синусов и косинусов для трёхгранного угла см. Моденов П.С., Пархоменко А.С.
Сборник задач по аналитической геометрии. Задача № 212 (и указания к ней).
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
8 / 22 |
Одним из самых замечательных фактов геометрии на сфере является наличие принципа двойственности.
Этот принцип проявляется в том что, имея какое-то верное утверждение геометрии на сфере, можно по формальным правилам сформулировать другое утверждение (двойственное, парное), которое следует из первого.
В соответствии с принципом двойственности двойственными являются:
I и II признаки равенства сферических треугольников
III и IV признаки равенства сферических треугольников
теорема косинусов стороны и теорема косинусов угла
Принцип двойственности основывается на понятии полярного треугольника.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
9 / 22 |
Полярный сферический треугольник
Пусть дан сферический треугольник ABC.
Определим точку A1 на сфере условиями:
! ! ! ! hOA1; OBi = 0 ; hOA1; OCi = 0 ;
A1 : ! ! ! hOA1; OAi > 0 ; jOA1j = r.
Ясно, что этими условиями точка A1 на сфере определяется однозначно.
Аналогично строятся точки B1 и C1.
! ! ! ! hOB1; OAi = 0 ; hOB1; OCi = 0 ;
B1 : ! ! ! hOB1; OBi > 0 ; jOB1j = r.
! ! ! ! hOC1; OAi = 0 ; hOC1; OBi = 0 ;
C1 : ! ! ! hOC1; OCi > 0 ; jOC1j = r.
A 1 |
A |
C 1
O
C
B
B 1
Треугольник A1B1C1 называется полярным треугольнику ABC.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
10 / 22 |