Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-16
.pdf
Утверждение
Для треугольника A1B1C1 полярным будет исходный треугольник ABC.
A 1 |
A |
C 1
O
C
B
B 1
Утверждение
Стороны и углы полярных треугольников связаны следующим образом:
A + a1 = , |
B + b1 = , |
C + c1 = , |
a + A1 = , |
b + B1 = , |
c + C1 = . |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
11 / 22 |
A
^ ^
C |
J A + a1 = KL + B1C1 = |
|
||||
|
|
|
|
|
||
B |
^ |
^ |
^ |
^ |
|
|
= KL + B1K + KL + LC1 = |
|
|||||
O |
|
|||||
^ |
^ |
+ |
^ ^ |
= |
||
|
||||||
B1 K L C1 |
= KL + B1K |
KL + LC1 |
||||
=+ = . I
22
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
12 / 22 |
Докажем признак равенства сферических треугольников
IV: по трём углам
A = M; B = N; C = K
J Построим для этих треугольников полярные
Т.к. a1 = A ; |
b1 = B ; |
c1 = C ; и |
m1 = M ; |
n1 = N ; |
k1 = K ; то |
A = M; B = N; C = K =) a1 = m1; b1 = n1; c1 = k1.
Значит, 4A1B1C1 = 4M1N1K1 по трём сторонам.
Ясно что, у равных треугольников полярные треугольники равны.
Поэтому 4ABC = 4MNK. I
Итак, сферические треугольники с равными углами равны.
Отсюда, в частности, вытекает что, в сферической геометрии нет подобных треугольников.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
14 / 22 |
Теорема косинусов угла
cos A + cos B cos C
cos a =
sin B sin C
J Пусть треугольники A1B1C1
(?)
и ABC полярны.
|
|
a1 = A ; A1 = a , |
|
|
b1 = B ; c1 = C , |
cos A1 |
= cos a1 cos b1 cos c1 теорема косинусов стороны ; |
|
|
sin b1 sin c1 |
|
cos a1 = cos A ; |
cos b1 = cos B ; cos c1 = cos C , |
|
cos A1 |
= cos a ; |
sin b1 = sin B ; sin c1 = sin C =) (?) I |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
15 / 22 |
Упр.
Убедиться, что если провести аналогичное рассуждение
sin A |
sin B |
|
sin C |
||||
для теоремы синусов |
|
= |
|
= |
|
|
, |
sin a |
sin b |
|
|||||
|
|
|
|
sin c |
|||
мы прийдём к тому же самому утверждению.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
16 / 22 |
Симметричные сферические треугольники
A
B
C
O
C
B
A
Пусть
т.Ae диаметрально противоположна т. A ;
т.Be диаметрально противоположна т. B ;
т.Ce диаметрально противоположна т. C.
Треугольник AeBeCe называется симметричным треугольнику ABC.
Очевидно, у симметричных треугольников все элементы равны. Поэтому симметричные треугольники равны.
В частности, у симметричных треугольников равны площади.
Хотя, симметричные треугольники, как правило, не могут быть совмещены движением по сфере.
(В следствии разного порядка своих элементов.)
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
17 / 22 |
Двуугольник и его площадь
A
B
C
O |
C |
|
|
|
B |
A |
|
S(ABACe ) = 4 R2 |
A |
2 , S(ABACe ) = 2A R2. |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
18 / 22 |
Площадь сферического треугольника
A
B
C
O
C
B
A
Треугольники BCAe и треугольник BeCAe симметричны .
Поэтому S(BCAe) = S(BeCAe ) .
Сравним сумму площадей трёх двуугольников с площадью полусферы, расположенной выше плоскости BCO , получим
2AR2 + 2BR2 + 2CR2 = 2 R2 + 2S(ABC) , поэтому
S(ABC) = (A + B + C )R2.
|
|
A |
Из формулы |
|
|
S(ABC) = (A + B + C )R2 |
O |
C |
B |
||
следует что, A + B + C > . |
|
|
Сумма углов сферического треугольника всегда больше . 
Величина A + B + C называется дефектом треугольника. 
Дефект треугольника непосредственно связан с площадью треугольника.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 16 |
16 декабря 2011 г. |
20 / 22 |