Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-7

Пусть

V n мерное векторное пространство

! !

2 V

h! !i

!

!

(над полем вещественных чисел),

;

скалярное произведение.

x ; y

x ; y

x

y

g11

g12

g1n

3

e1; e1

e1; e2

e1; en

G =

2g21

g22

g2n

=

2he2; e1i

he2; e2i

he2; eni3.

6

7

6h

i

h

i

h

i7

6gn1 gn2

gnn7

6

en; e1

i h

en; e2

i h

en; en

7

4

5

4h

i5

Выразим скалярное произведение в координатах.

x = x1e

1

+ x2e

2

+ : : : + xne

n

и

Пусть !

y = y1e

1

+ y2e

2

+ : : : + yne

n

,

тогда

!

h

ni

h! !i

=

x1e

1

+ x2e

2

n

; y1e

1

+ y2e

2

+ : : : + yne

=

x ; y

+ : : : + xne

n

n

=

xjykhej; eki =

gjkxjyk.

j; k=1

j; k=1

h! !i

n

j;X

jk .

x ; y =

g xjyk

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

2 / 32

Определение

Базис e1; e2; : : : ; en называется ортонормированным,

если его матрица Грама

G = I

единичная матрица, т.е.,

gjk

hej; eki =

(

0

при

j = k .

1

при

j = k

6

В случае ортонормированного базиса,

x ; y

n

g xjyk

=

формула для скалярного произведения

h! !i

j;X

jk

k=1

принимает более простой вид:

n

jX

1

1

2

2

n

n

x ; y

=

j j

h! !i

x y = x y + x y + : : : + x y .

=1

jk =

1 ;

j = k

;

jk символ Кронекера.

0 ;

j 6= k

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

3 / 32

g11

g12

g1n

y1

3 =

x

1

x

2

xn

2

g21 g22

g2n

2y2

3 .

7

6 ..

6gn1 gn2

gnn7 6yn7

6

7

6

7

4

5

4

5

3

g11y1 + g12y2 + + g1nyn

=

x1

x2

xn

2 g21y1 + g22y2 +

+ g2nyn

=

6

1

2

n7

6gn1y

+ gn2y

+

+ gnny

7

4

5

!

1

+ x2e

2

+ : : : + xne

n

=

x = x1e

x1

e1

3

= e1 e2

en

2x2 3

x

1

x

2

x

n

2e2

6 ...

7 =

6 ...

7,

6xn7

6e

7

6

7

6 n7

4

5

3

4

5

y1

2y2

!

1

2

n

6 ...

7,

y =

e

e

6yn7

e

6

7

2he2

4

5

; eni3 =

2e2 3 e1 e2

G =

; e1i he2

; e2i he2

en .

e1

; e1

e1

; e2

e1

; en

e1

7

h

i h

i

h

i

7

6 ...

6 en; e1

i h

en; e2

i h

en; en

6e

7

6h

i7

6

n7

4

5

4

5

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

5 / 32

h! !i

!

!

x ; y

= x

y =

e1

3

y1

3

= x

1

x

2

x

n

2e2

e1

e2 en

2y2

= x>G y.

6 ...

7

6 ...

7

6e

7

6yn7

6

n7

6

7

4

5

4

5

Т.о.,

h! !i

= x

>

G y

.

(1)

x ; y

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

6 / 32

gjk = hej; eki = hek; eji = gkj ,

итак,

gjk = gkj .

G =

2g21

g22

g2n3 .

g11

g12

g1n

6

7

6gn1 gn2

gnn7

4

5

Определение

Матрица

G =

gjk

: gjk = gkj

т.е.

G = G>,

называется

симметрической.

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

7 / 32

g11

g12

g1n

3

x1

3

x>G x

x1 x2

xn

2g21 g22

g2n

2x2

=

6 ...

7

6gn1

gn2

gnn7 6xn7

6

7

6

7

4

5

4

5

=

h! !i

> 0

при

8

! 6

8x 6= 0 .

x ; x

x = 0

Определение

jk

x1

g

Симметрическая матрица G =

:

8x =

2x2

3

6= 0

6 ...

7

x>G x > 0

6xn7

6

7

4

5

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

8 / 32

Утверждение

критерий Сильвестра

G =

2g21

g22

g2n3

> 0

g11

g12

g1n

6

7

()

6gn1

gn2

gnn7

4

5

j = 1; 2;

; n

det

g21

g22

g2j

> 0

g11

g12

g1j

.

() 8

gj1

gj2

gjj

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

9 / 32

n

h! !i

j;X

k

= x>G y.

(1)

gjk x y

x ; y

=

j

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

10 / 32