Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Program11-12-1

Предмет аналитической геометрии. Аксиомы векторного пространства. Примеры векторных пространств. Следствия аксиом векторного пространства.

Линейная зависимость и линейная независимость. Свойства линейной зависимости. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Геометрический смысл коллинеарности и компланарности. Полные семейства векторов, базисы, размерность. Координаты вектора. Примеры базисов в векторных пространствах.

Координаты суммы векторов и произведения вектора на число. Изоморфизмы линейных пространств. Координатные изоморфизмы. Изоморфность линейных пространств одной и той же размерности. Векторные подпространства. Конструкция векторных подпространств.

Аффинные пространства. Аффинная система координат. Координаты точки в аффинном пространстве. Координатный изоморфизмом аффинного пространства. Изоморфизмом по равенству координат аффинных пространств. Аффинные подпространства. Конструкция аффинных подпространств. Векторное параметрическое уравнение k - мерной плоскости.

Прямые в аффинном пространстве. Векторное параметрическое уравнение прямой. Координатное параметрическое уравнения прямой. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой по двум точкам. Параллельные прямые. Отрезки. Уравнения прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Доказательство постулата Евклида о параллельных. Двумерная плоскость в n - мерном аффинном пространстве. Векторное параметрическое уравнение плоскости. Задание плоскости тремя точками. Плоскость в трёхмерном пространстве. Координатное параметрическое уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости.

Переход от одного базиса к другому в векторном пространстве. Матрица перехода. Преобразование координат. Формулы преобразования аффинных координат точек.

Примеры теорем и задач аффинной геометрии.

Скалярное произведение. Аксиомы скалярного произведения. Евклидово пространство. Длина вектора и угол между векторами. Неравенство КошиБуняковского. Неравенство треугольника. Теорема о диагоналях параллелограмма. Ортогональные векторы и теорема Пифагора.

Метрическая форма и метрические коэффициенты. Матрица Грама. Условие положительной определённости. Различные способы задания скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Преобразование матрицы Грама.

1

Ортонормированные базисы и прямоугольные координаты. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Следствия ортогонализации Грама-Шмидта - разложение положительно определённых матриц. Ортогональные матрицы - матрицы перехода ортонормированных базисов. Определитель ортогональной матрицы. Свойство столбцов и строк ортогональной матрицы. QR-разложение матриц.

Ориентации. Базисы одинаково ориентированные и базисы ориентированные противоположно. Выбор ориентации и ориентированное векторное пространство. Сохранение ориентации при ортогонализации Грама-Шмидта. Ориентация прямой. Ориентация плоскости и пространства.

Площадь параллелограмма, построенного на паре векторов. Векторное произведение векторов в трёхмерном пространстве. Свойства векторного произведения.

Смешанное произведение векторов. Свойства.

Векторное произведение и смешанное произведение в ортонормированном базисе.

Двойное векторное произведение. Скалярное произведение векторных произведений. Тождество Якоби.

О псевдовекторах и псевдоскалярах.

Некоторые применения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов. Вектор перпендикулярный к плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями, между прямой и плоскостью, между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве. Уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых в пространстве. Уравнение плоскости в пространстве. Объём параллелепипеда в прямоугольной системе координат.

Кривые второго порядка на евклидовой плоскости. Примеры. Приведение к каноническому виду. Теорема о классификации кривых второго порядка. Канонические уравнения 9-ти видов кривых второго порядка.

Эллиптический циркуль и другие способы построения эллипса. Параметрическое уравнение эллипса.

Эллипс, гипербола и парабола. Их оси, фокусы, вершины, эксцентриситет, фокальный параметр, директрисы. Асимптоты гиперболы.

Фокальное свойство эллипса и гиперболы как их характеристическое свойство.

Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы как их характеристическое свойство.

2

Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Интерпретация эксцентриситета, фокусов и директрис в терминах конического сечения. Сферы Данделена.

Полярная система координат. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Объём параллелепипеда. Ориентированный объём параллелепипеда. Геометрический смысл определителя матрицы. Геометрический смысл определителя матрицы перехода.

Сопряжённый базис. Существование и единственность сопряжённого базиса. Матрица Грама сопряжённого базиса. Сопряжённый базис в трёхмерном пространстве и векторное произведение. Ковариантные и контравариантные координаты. Вычисление ковариантных координат и контравариантных. Использование ковариантных координат при вычислении скалярного произведения. Преобразование сопряжённого базиса. Преобразование ковариантных координат.

Векторное произведение базисных векторов (не ортонормированных). Координаты векторного произведения в произвольном базисе. Смешанное произведение в произвольном базисе.

Сферическая тригонометрия. Кратчайшая на сфере. Трёхгранные углы и сферические треугольники. Теорема косинусов стороны. Теорема синусов. Полярный сферический треугольник. Равенство сферических треугольников по трём углам. Теорема косинусов угла. Симметричные сферические треугольники. Двуугольник и его площадь. Площадь сферического треугольника.

3