Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-7

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

h3		Вектор h3 ищем в виде
		e

he3 = e3 b13h1 b23h2;

требуем he3 ? h1 ; h2

hhe3; h1i = 0

() b13 = he3; h1i ,

hhe3; h2i = 0

() b23 = he3; h2i .

Положим

h3 =

he3 ;

b33 = jhe3j ;

jh3j

тогда

= 1 ;

h3; h1

= 0 ;

h3; h2

= 0 ; h3 = b33h3 .

Поэтому

e3 = b13h1 + b23h2 + b33h3 ;

b33 > 0

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

21 / 32

Вектор

ищем в виде

hk = ek

b1ke 1

2k 2

1k k

b h

hhk; hji = 0 () bjk = hek; hji,

je= 1 ; 2 ; ; k 1 .

Положим

hk =

hek ;

bkk = jhekj

jhkj

тогда

= 1 ; e

hk; hj

= 0 ;

= bkkhk .

Поэтомуj

ek = bh1kh1 +ib2kh2 +ek

+ bkkhk ; bkk > 0.

И так далее до k = n.

Ортонормированный базис построен, при этом

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

22 / 32

e1 = b11h1 ;

b11 > 0

e2 = b12h1 + b22h2 ;

b22 > 0

e3 = b13h1 + b23h2 + b33h3 ; b33 > 0

ek = b1kh1 + b2kh2 + + bkkhk ; bkk > 0

b2n3

2 0

b22

b23

b11

b12

b13

b1n

e1 e2

= h1 h2

0 b33

b3n7

nn7

e1 e2

en = h1 h2

hn B ;

bjj > 0 .

Матрица перехода B верхняя треугольная.

Процесс ортогонализации Грама–Шмидта завершен.

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

23 / 32

Замечание	2	0	b22	b23	b2n3
	b11		b12	b13	b1n	7
Если B =	6	0	0	b33	b3n	7	верхняя треугольная
	6	0	0	0	b	7
	6				nn7
	4					5

матрица с положительными элементами на диагонали:

то det B = b11 b22 b33 bnn > 0.

Поэтому

1	2		0	c22	c23	c2n3
	6	c11		c12	c13	c1n	7
9 B = C =	6	0		0 c33		c3n	7	;	cjj =
	6		0	0	0	c	7
	6					nn7
	4						5

e1 e2 en = h1 h2 hn B ; ()

bjj > 0 ,

> 0 .

bjj

()	h1 h2 hn = e1 e2 en C.

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

24 / 32

Резюме

Пусть e1; e2; : : : ; en базис в векторном пространстве V, hej; eki = gjk метрические коэффициенты,

G = gjk	матрица Грама.
x = x1e			1		2	e2		n		en	и
Пусть !				+ x				+ : : : + x
y = y1e			1	2		e2		n	en ,		тогда
!				+ y				+ : : : + y
h! !i			n
		j;X			jk		xjyk
x ; y
		=		g

k=1

выражение скалярного произведения в координатах.

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

25 / 32

Определение

Матрица G = gjk			: gjk = gkj					т.е. G = G>,
называется	симметрической.
называется
Определение
x1					g	jk
Симметрическая матрица				G =	g		:
2x2	3	( 6= 0)
8 x = 6 ...	7	( 6= 0)		x>Gx > 0
6xn7
6	7
4	5
называется	положительно определённой и обозначается G > 0 .

Матрица Грама симметрическая положительно определённая матрица : G = G> > 0 .

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

26 / 32

8	G = G>	> 0	формула
	G = G>	> 0
		n
h! !i		n
h! !i		j;X	jk		>
	x ; y =	j;X	g xjyk = x G y
	x ; y =		g xjyk = x G y
		k=1
задаёт скалярное произведение.
Если в пространстве				V выбран базис e1; e2; : : : ; en ,
то задание скалярного произведения h! !i								()
							x ; y
	()	заданию матрицы				G = G> > 0		.
	()	заданию матрицы						.

Скалярное произведение можно задать, указав, какой базис следует считать ортонормированным.

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

27 / 32

Преобразование матрицы Грама

Пусть e1; e2; : : : ; en базис в V.

G =	gjk матрица Грама, gjk = hej; eki.
Пусть	e1; e2; : : : ; en другой базис в V,

hej; eki = gjk ;	G = gjk		матрица Грама этого базиса.
	f
e	e
Пусть C матрица перехода от одного базиса к другому, т.е.
e1 e2 en = e1 e2 en C ,
	G = C>G C
Определение тогда	f			.
Определение тогда	f
Базис h1; h2; : : : ; hn называется ортонормированным,
если hhj; hki = jk =		0 ;	j 6= k .
		1 ;	j = k

Т.е., если матрица Грама этого базиса равна единичной матрице.

Другими словами, jhjj = 1 ; hj?hk 8j 6= k.

Удобство ортонормированного базиса h1; h2; : : : ; hn

Пусть базис

h1; h2; : : : ; hn ортонормированн: hhj; hki = jk и

x = x

+ x

+ : : : + x

n .

y = y

+ y

+ : : : + y

8 h! !i

x ; y

= x

+ x

+ : : : + x y

! !

> h

x ; x = x2 + x2 + : : : + x2

Тогда

x = x

+ x

+ : : : + x

j!j

x ; h

;

y ; h

> xj = !

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 7

15 октября 2011 г.

29 / 32

Метод ортогонализации Грама–Шмидта

Пусть в евклидовом пространстве V имеется какой-либо базис e1; e2; : : : ; en.

Используя этот базис, можно построить ортонормированный базис

h1; h2; : : : ; hn : hhj; hki = jk				2						3
причём,				2	0	b22	b23	b2n		3
				6	b11	b12	b13	b1n		7
e1 e2	en	= h1 h2	hn	6	0	0 b33		b3n		7	,
				6						7
				6	0	0	0	b		7
				6					nn7
e1 e2	en = h1 h2			4						5
e1 e2	en = h1 h2		hn B ;				bjj > 0 ,
матрица перехода		B верхняя треугольная;				bjj > 0 .

Этими условиями (на матрицу B) ортонормированный базис h1; h2; : : : ; hn определяется однозначно.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко

#
06.06.20151.32 Mб19Lecture 1-16.pdf
#
06.06.20154.08 Mб24Lecture 1-2.pdf
#
06.06.20151.03 Mб20Lecture 1-3.pdf
#
06.06.20152.21 Mб25Lecture 1-4.pdf
#
06.06.2015809.3 Кб21Lecture 1-6.pdf
#
06.06.20152.05 Mб24Lecture 1-7.pdf
#
06.06.2015903.99 Кб21Lecture 1-8.pdf
#
06.06.2015508.66 Кб21Lecture 1-9.pdf
#
06.06.201572.03 Кб20Program11-12-1.pdf