Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-8

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 8

22 октября 2011 г.

1 / 37

Утверждение

Для любой матрицы

G = G> > 0 ,

9

! D = D> > 0 : G = DD ; D = p

.

G

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 8

22 октября 2011 г.

2 / 37

В векторном пространстве

R2

задать скалярное произведение так,

1

что длина вектора

a = 0

равна

p ,

1

0

длина вектора b = 1

равна q ,

q

а угол между этими векторами равен

! .

p

0

1

Вычислить скалярное произведение векторов

x = x2 и y =

y2 .

x1

y1

Показать что оно равно,

+ q2x2y2 .

hx; yi = p2x1y1 + pq cos ! x1y2 + x2y1

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 8

22 октября 2011 г.

3 / 37

e1

e2

hen

= h

1

h

2

h

n

Q

(})

h

h

h

3

3

2h2

2h2

1

h1

e.

7

= Q> . .

(

}

)>

6e..

6 ..

7

6

7

6h

7

6hn7

6

n7

4

e

5

4

5

; : : : ; h

n и

; : : : ; h

1

2

1

2

n

Ортонормированность базисов

h

; h

h ; h

означает, что

2h2

3

e

e

e

2h2

3

h1

h1

e

h1 h2

hn

= I ;

.

7

h1 h2

hn = I.

(X)

6e...

7 h

e

i

6 ..

6hn7

e e

6hn7

6

7

6

7

4

5

4

5

(})> (})

S (X) =) I = Q>Q .

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 8

22 октября 2011 г.

6 / 37

=

det Q>

det Q = 1 =

det Q

det Q = 1

=

)

)

)

2

I

=)

det Q = 1 =) det Q = 1 .

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 8

22 октября 2011 г.

7 / 37

Упр. Показать, что матрица

Q ортогональна =)

=

Q>

ортогональна, т.е.,

) матрица

Q>Q = I = Q Q> = I

.

)

Упр. Показать, что векторы

fj составленные

из строчек ортогональной матрицы

Q = 2q21

q22

q2n 3

q11

q12

q1n

6

7

6qn1

qn2

qnn7

4

5

тоже ортонормированы, т.е.

hfj; fji = 1 ;

hfj; fki = 0 при j 6= k.

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 8

22 октября 2011 г.

9 / 37

x1

3

y1

3

x; y 2 R

n

() x =

2x2

;

y =

2y2

6 ...

7

6 ...

7.

6xn7

6yn7

6

7

6

7

4

5

4

5

Аналитическая геометрия (1-ый сем.)

Лекция 8

22 октября 2011 г.

10 / 37