Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-4

Лекция 4

Аффинные пространства

Для аксиоматического определения аффинного пространства используем наглядные соображения о нашем трёхмерном пространстве.

Важные наблюдения:

Определение

Аффинное пространство это множество A элементов произвольной природы, называемых точками, для которого задано

Векторное пространство V называется ассоциированным с аффинным пространством A. По определению dim A = dim V.

Пример аффинного пространства (основной)

Обозначается то же Rn, как и векторное.

Когда потребуется их различить, то векторное пространство (которое мы обсуждали) будем обозначать Rnвек ,

а аффинное (которое сейчас определим) будем обозначать Rnафф .

Чтобы определить аффинное пространство Rnафф , мы должны сказать

Xчто следует называть точками

Xчто векторами

Xкак паре точек сопоставляется вектор

при этом должны выполняться аксиомы 1. 10.

Проверять выполнение аксиом 1. 8. не требуется. Обсудим выполнение аксиом 9. 10.

Т.о., задав в аффинном пространстве A систему координат Oe1e2 : : : en,

и сопоставив каждой точке A 2 A

Это отображение является изоморфизмом

произвольного аффинного пространства A в эталонное Rnафф . Оно называется координатным изоморфизмом .

Т.о., аналогично случаю векторных пространств, произвольное n – мерное аффинное пространство Rnафф оказалось изоморфно A : A Rnафф .

И, как следствие, любые два n – мерных

аффинных пространства A и B изоморфны A B .

Изоморфизм аффинных пространств A и B

одинаковой размерности можно установить непосредственно.

Для этого нужно и в пространстве A и в пространстве B

ввести системы координат и объявить соответствующими те точки, которые имеют одинаковые координаты в своих системах координат.

Полученный изоморфизм пространств A и B называется изоморфизмом по равенству координат.