Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-6
.pdf
Лекция 6
Аффинная геометрия
Аффинная геометрия это геометрия в аффинном пространстве.
В аффинной геометрии нет понятия длины отрезка и понятия угла. Но определено отношение отрезков на параллельных прямых.
! |
= |
!; |
! !. |
P Q |
|
AB |
MN = AB |
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
1 / 30 |
Примеры теорем и задач аффинной геометрии
Свойство медиан
Медианы пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1 : 2.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
2 / 30 |
Теорема Фалеса
Вариант на плоскости.
Пространственный
вариант.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
3 / 30 |
Фалес Милетский YI в. до н.э. Считается, что именно он ¾привез¿
геометрию из Египта и познакомил с ней греков. Предсказал солнечное затмение 585 до н. э..
В Египте ¾поразил¿ жрецов и фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды Хеопса.
Он дождался момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.
Пифагор в возрасте 18–20 лет посетил старого тогда уже Фалеса, который и пробудил интерес юноши к математике и астрономии, посоветовал ему поехать для основательного образования в Египет. Пифагор последовал совету.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
4 / 30 |
ABCD трапеция,
M; N середины оснований,
O пересечение диагоналей,
Q пересечение продолжений боковых сторон.
Свойство трапеции:
точки M; N; O; Q лежат на одной прямой.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
5 / 30 |
Дан параллелепипед. |
|
|
Показать что, 9! M 2 A1C1 и |
N 2 CD1 : |
|
MN k B1D при этом, jMNj = |
1 |
jB1Dj. |
|
||
3 |
||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
6 / 30 |
Дан параллелепипед;
M точка пересечения медиан треугольника AB1C. Доказать, что диагональ BD1
пересекает плоскость AB1C в точке M и
jBMj = 1jBD1j .
3
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
7 / 30 |
Соглашение |
|
! |
|
|
MN = P Q |
|
= |
||
! ! |
() |
MN |
|
|
|
! |
|
||
|
|
|
P Q |
|
B
|
|
|
|
|
Теорема Менелая |
(I в. до н. э.) |
|
C1 |
|
A1 |
|
|
|
A |
|
|
C |
B1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Пусть точки |
A1, B1, C1 |
выбраны на сторонах |
BC, AC, AB |
|||
треугольника |
ABC или на их продолжениях. Утверждается, что |
|||||
три точки |
A1, B1, C1 лежат на одной прямой |
() |
||||
() |
!1 |
!1 |
!1 = 1 . |
|
||
|
AC |
|
BA |
CB |
|
|
|
!1 |
|
1! |
!1 |
|
|
|
C B |
|
A C |
B A |
|
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
8 / 30 |
Джованни Чева (1648 1734) итальянский математик, инженер-гидравлик.
Старался возродить греческую геометрию. |
|
Основной заслугой является построение учения о секущих, |
|
которое положило начало новой синтетической геометрии. |
B |
C1 |
|
Теорема Чевы (1678 г.) |
|
* |
||
|
|
A |
||
Пусть точки |
A1, B1, C1 выбраны |
B1 |
||
|
||||
на сторонах |
BC, AC, AB треугольника |
ABC , |
|
|
или на их продолжениях так, что выполняется "условие Чевы"
! ! !
AC1 BA1 CB1
! ! ! = 1 .
C1B A1C B1A
Тогда либо все три прямые AA1 , BB1 и CC1
имеют общую точку, либо все они параллельны.
A1
C
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
9 / 30 |
|
|
B |
|
C1 |
Обратная теорема Чевы |
||
|
* |
A1 |
|
A |
C |
|
|
B1 |
|
||
|
|
|
|
Если точки |
A1, B1, C1 выбраны на сторонах |
||
BC , AC и AB треугольника |
ABC |
||
или на их продолжениях так, |
|
||
что три прямые AA1 , BB1 , |
CC1 |
||
пересекаются в одной точке (или параллельны), |
|||
то выполнено "условие Чевы" |
|
||
!1 |
!1 |
!1 = 1 . |
|
AC |
BA |
CB |
|
!1 |
1! |
!1 |
|
C B |
A C |
B A |
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 6 |
8 октября 2011 г. |
10 / 30 |