Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-3
.pdf
Y. Матрицы (таблицы чисел)
|
2 |
a21 |
a22 |
|
a2m |
3 |
|
2 |
|
j |
|
3 |
||
|
|
|
||||||||||||
A = |
a11 |
a12 |
|
a1m |
; |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
i |
||
Eij = 0 |
|
1 |
|
0 |
||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
an1 an2 |
|
anm |
|
6 |
|
|
7 |
||||||
|
6 |
|
7 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|||
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
5 |
||
A = a11E11 + a12E12 + + a1mE1m +
+ a21E21 + a22E22 + + a2mE2m + +
+ an1En1 + an2En2 + + anmEnm ,
nm
X X
A = aijEij .
i=1 j=1
Значит, множество матриц fEijg полное.
Показать что, множество матриц fEijg линейно независимо.
Т.о., dim fAg = nm .
YI. Полиномы степени не выше n
P (t) = p0tn + p1tn 1 + + pn 1t + pn.
Показать что, базис образуют полиномы 1; t; t2; ; tn.
И значит, размерность пространства полиномов 
степени не выше n равна n + 1 .
YII. Множество всех полиномов
Показать что, при 8 m полиномы 1; t; t2; ; tm линейно независимы.
Значит, в множестве всех полиномов не существует конечного полного множества. Поэтому множество всех полиномов является бесконечномерным векторным пространством.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
12 / 30 |
Разнообразные множества функций также, как правило, образуют бесконечномерные векторные пространства.
В нашем курсе бесконечномерные пространства рассматриваться не будут, это предмет функционального анализа.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
13 / 30 |
Изоморфизм векторных пространств
Пусть e1; e2; : : : ; en базис векторного пространства V (т.е. полный линейно независимый набор векторов). Тогда любой вектор a 2 V записывается
как их линейная комбинация
a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen. |
(1) |
Числа a1; a2; : : : ; an определены однозначно и называются 
координатами вектора a 2 V в базисе e1; e2; : : : ; en.
Существование чисел a1; a2; : : : ; an обеспечивается полнотой базиса e1; e2; : : : ; en,
а их единственность его линейной независимостью.
Соотношение (1) называется разложением вектора a 2 V 
по базису e1; e2; : : : ; en.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
14 / 30 |
Сопоставим каждому вектору |
|
|
|
|
|
|
||||||||
a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen |
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
столбец из его координат, получим отображение ' |
|
|
||||||||||||
' : V 7 !Rn |
|
|
1 |
3 |
|
|
n |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2a2 |
|
|
2a2 |
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
' : a |
|
|
. |
|
2 |
R |
; |
'(a) = . . |
||||||
|
2 V 7 ! .. |
7 |
|
|
|
6 |
.. |
7 |
|
|||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6an7 |
|
|
|
|
6an7 |
|
||||||
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим два простых, но очень важных свойствах отображения '.
Во-первых, ' отображает векторное пространство V на всё Rn.
Это следует из соотношения (1).
Во-вторых отображение ' взаимно однозначно,
то есть, a 6= a |
=) |
'(a) 6= '(a) |
|||
или, что эквивалентно, |
'(a) = ' e |
=) |
a = a. |
e |
|
|
|
(a) |
|
|
|
|
|
e |
|
17 e |
|
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
|
|
|
||
|
Лекция 3 |
|
сентября 2011 г. 15 / 30 |
||
|
a1 |
3 |
|
|
2a2 |
|
|
Действительно, пусть '(a) = '(a) = |
6 ... |
7 |
, |
e |
6an7 |
|
|
6 |
7 |
|
|
|
4 |
5 |
|
a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen
значит, =) a = ae . ae = a1e1 + a2e2 + : : : + anen
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
16 / 30 |
Итак, ' : V 7 !Rn
отображает V взаимно однозначно на всё Rn , т.е., биективно .
И значит, существует обратное отображение
' 1 : Rn 7 ! V,
которое (однозначно) отображает Rn на всё V.
2a13
6a27
Можно писать ' : a 2 V ! 6 . 7 2 Rn.
6 .. 7
4 5 an
Важно отметить, что определённое нами отображение ' линейного пространства V в Rn возникает только после того, как в линейном пространстве V выбран и зафиксирован базис.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
17 / 30 |
Утверждение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть a; b 2 V и e1; e2; : : : ; en базис в пространстве V |
|
||||||||
|
a1 |
3 |
|
|
b1 |
3 |
|
|
|
|
2a2 |
|
|
2b2 |
|
|
|
||
и a |
! 6 ... |
7 = '(a) , |
b ! |
6 ... |
7 = '(b). |
|
|
||
|
6an7 |
|
|
6bn7 |
|
|
|
||
|
6 |
7 |
|
|
6 |
7 |
|
|
|
Тогда |
4 |
5 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 + b1 |
3 |
|
|
|
a1 |
3 |
|
|
|
2a2 + b2 |
|
a ! |
2 a2 |
= '( a), |
||||
a + b ! 6 |
... |
7 = '(a + b) , |
6 ... |
7 |
|||||
|
6an + bn7 |
|
|
|
6 an7 |
|
|||
|
6 |
|
7 |
|
|
|
6 |
7 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
4 |
5 |
|
то еcть, |
'(a + b) = '(a) + '(b) , |
'( a) = '(a). |
|||||||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
18 / 30 |
JВ самом деле, т.к.
a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen ,
b = b1e1 + b2e2 + : : : + bnen , то
a + b = (a1 + b1)e1 + (a2 + b2)e2 + : : : + (an + bn)en
|
a1 |
+ b1 |
3 |
|
=) '(a + b) = |
2a2 |
+ b2 |
= '(a) + '(b). |
|
6 |
... |
7 |
||
|
6an |
+ bn7 |
|
|
|
6 |
|
7 |
|
|
4 |
|
5 |
|
Этим доказано, что при сложении векторов их координаты складываются.
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
19 / 30 |
Аналогично, для любого имеем
a = (a1e1 + a2e2 + : : : + anen) =
= ( a1)e1 + ( a2)e2 + : : : + ( an)en ,
|
a1 |
3 |
|
|
=) '( a) = |
2 a2 |
= '(a) . |
|
|
6 ... |
7 |
|
||
|
6 an7 |
|
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
Т.о., при умножении вектора на число его координаты |
I |
|||
умножаются на то же число. |
||||
Аналитическая геометрия (1-ый сем.) |
Лекция 3 |
17 сентября 2011 г. |
20 / 30 |