а) sin 2 z;

б) cos 3 z;

в) ez2 ; г)

1

, z

0

= −2 ;

3z +1

z

1

д)

, z

= 0 ;

е) ln (2–z), z

0

= 0 ;

ж)

, z

0

= 0 ;

z + i

0

(z +1)(z − 2)

з)

1

, z0

= 0 ;

1+ z + z2

Указание: умножить и разделить на (z–1);

и)

f (z) =

ez

, z

= 0 ;

к) sin2 z, z

0

= 0 ;

1+ z2

0

z

z

м)

;

н)

.

ln(1+ z)

(1− z2 )sin z

4.5. Разложение функций в ряды Лорана

построить разложения по положительным и

отрицательным степеням (z − z0 )n . Ряд

+∞

å cn (z − z0 )n называется рядом Лорана. Ряд понимается как сумма двух рядов

n=−∞

∞

∞

f1(z) = åcn (z − z0 )n и f2 (z) = åc−n (z − z0 )−n .

n=0

n=1

круговом кольце r <| z − z0 |< R ,

где 0 £ r, R £ ¥ , тогда она единственным образом пред-

+∞

ставляется в этом кольце сходящимся к ней рядом Лорана

f (z) = å cn (z − z0 )n , где

1

f (η)dη

n=−∞

cn =

!ò

, n = 0,±1;±2,K,r

< ρ < R .

2πi

(η − z0 )

n+1

γρ

Доказательство. Функция

f(z) –

аналитическая

в

любом замкнутом кольце

%

(рис.4.2).

r < r ≤| z − z0 |≤ R < R

%

f (z) =

1

!ò

f (η)dη

+

1

!ò

f (η)dη

,

2πi

η − z

2πi

η − z

+

−

Γ %

Γ%

где

R

r

G % =

{

z || z - z

%

= { z || z - z

|= r%} .

R

0

}

r%

0

y

r

%

R

%

r

z

0

R

x

Рис.4.2.

Для первого слагаемого аналогично доказательству формулы Тейлора получим

1

!

f (η)dη =

1

!

f (η)dη

=

2πi

η - z

2πi

- z

) - (z - z

)

ò

ò (η

0

0

Γ %

+

Γ %

+

R

R

=

1

!

∞

(z - z0 )n

∞

1

f (η)dη

=

2πi

å

(η - z

)n+1

dη = ! (z - z0 )å

2πi (η - z

)n+1

ò

0

ò

n=0

0

Γ %+ n=0

Γ %+

R

R

∞

)n

1

f (η)dη =

∞

)n ,

=

å

(z - z

0

!

c (z - z

0

n+1

å n

n=0

2πi

ò

(η - z0 )

n=0

Γ %+

где

R

1

f (η)dη

cn

=

!ò

, n = 0,1,2,K.

2πi

(η - z0 )

n+1

Γ %

+

R

Второе слагаемое представим в виде ряда следующим образом

1

!

f (η)dη

= 1

!

f (η)dη

=

2πi

η

- z

2πi

æ

η - z

ö

ò

ò

-

0

Γr%−

Γr%− -(z - z0 )

ç1

÷

è

z - z0 ø

=

1

!

f (η)dη

=

æ

∞

f (η - z0 )n−1 ö

=

2πi

æ

ö

! f (η)ç

å

n

÷dη

ò

-

ò

ç

(z - z0 )

÷

Γr%+ (z - z0 )

ç1

η - z0 ÷

Γr%+

è n=1

ø

è

z - z0 ø

∞

−n

= åcn (z - z0 )

.

%

n=1

Этот ряд сходится вне круга | z - z0

|< r . Для cn имеем формулу

%

%

cn =

1

f (η)(η - z0 )

n−1

dη

=

1

f (η)

dη

= c−n .

!ò

2πi !ò (η - z0 )−n+1

%

2πi

То есть при n < 0 ,

Γr%−

Γr%−

cn

=

1

!ò

f (η)dη

, n = -1,-2,K .

2πi

(η - z0 )

n+1

Γr%

Окружности G % ,G

можно заменить любой окружностью γ

:| z - z

|= ρ , где

%

r < ρ < R .

R

r%

ρ

0

%

f (z)

+∞

n−k−1

= å cn (z - z0 )

.

(z - z )k+1

0

n=−∞

%

Проинтегрировав это равенство по z, получим, что

%

1

!

f (z)dz

n = 0, ±1, ± 2,K.

cn =

2πi

ò

(z - z0 )

n+1

γρ

Пример. Разложить функцию

f (z) =

1

в ряд (по степеням z - z0 ) в окрестно-

(z -1)(z

- 2)

сти точки z0 = 0 .

Решение. Функция f (z) аналитическая в

областях: G1 :| z |<1, G2 :1<| z |< 2; G3 :| z |> 2

(рис.4.3).

y

z

G

G

0

x

1

G3

2

Рис.4.3.

f (z) =

1

=

(z -1) - (z - 2)

=

1

-

1

.

(z -1)(z - 2)

(z -1)(z - 2)

z -

2

z -1

1

1

1

1

∞

n

Если | z |< 2 , то

= -

×

= -

å

z

.

z - 2

z

n

2

1-

2 n=0

2

2

∞

1

1

1

n

Если | z |> 2 , то

=

×

= å

2

.

z - 2

z

2

n+1

n=0 z

1

- z

1

1

∞

Если | z |<1, -

=

= åzn.

z

-1

1

- z

n=0

∞

1