- •1. Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
- •2. Вероятность в дискретных пространствах элементарных событий.
- •3. Классическая схема равновероятных событий.
- •4 Теорема сложения и умножения вероятности.
- •5. Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •5.Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики.
- •7.Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биномиальное распределение. Формула Пуассона
- •8.Распределение Пуассона
- •10.Нормальное распределение правило 3-х сигм
- •11. Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Механическая интерпретация. Условные распределения.
- •12.Мат. Ожидание и дисперсия суммы случайных величин. Мат ожидание произведения случайных величин.
- •13.Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелированность и независимость случ. Величин.
- •13.Законы больших чисел и предельные теоремы. Теорема Бернулли, Чебышева, Муавра-Лапласа
- •15.Асимптотическое распределение среднего арифметического независимых случайных величин и относительной частоты.
1. Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
Влияние случ.факторов приводит к тому,что мы постоянно получаем разл.значен-я(при измерении каких-либо предметов) Случайные соб-я – это события,которые могут произойти,а могут и не произойти.
Серия экспериментов- последов-ть экспериментов, проводимых в неизменных условиях. А-случ.соб-е n раз повторяется эксперимент. nA –частота появления соб.А в n экспериментах. Относит.частота hA= nA/n – статистич.опр-е (отношение числа экспериментов А к числу всех благопр.исходов) Р(А)-вер-ть соб.А.
Такая процедура назыв.частотное определение вер-ти соб.А Пространство элемнт.соб-тий
Пример. Подбрасывание игр.кости 1 раз.
А1-выпала «1»,A2 выпала «2», A6 выпала «6»
А–выпад.четного числа очков.А={А2, А4, А6} В-вып.числа очков кратных 3. В={В3, В6 }
Множество всех элемент.исходов данного эксперимента назыв. пространством элементарных событий. ={ω1,,ω2,…}
Операции над случ. событиями:Диаграмма Эйлер-Венна
А ) событие A Б) Суммой событий А и В назыв. соб. А+В,состоящее из элемент.соб, принадлежащ. хотя бы одному из соб.А или В.
В ) Произведением событий А и B назыв. соб. АВ ,сост. из элемент. соб-й, принадлеж. одновременно А и В. Г) Разностью соб.А и В назыв. соб-е А-В, сост.из элем. соб-й, принадлежащих А и не принадлеж. В. Д) Соб.Ā = /А назыв. противоположным событию A (или дополн.к соб.А) Е) Несовместимые события (если они не могут произойти одноременно), если АВ= Ж) События образуют полную группу, если хотя бы одно из них обязательно происходит в результате испытания. З) Если из наступления соб.А следует наступл.В,т.е соб.В есть следствие А,то это записыв.так: АВ. Алгебра событий: Система F подмножеств ,удовлетворяющая условиям: 1)F; 2) из того,что А,ВF,следует,что А+ВF, ABF, Ā,B(с черточкой)F называется алгеброй событий. Т. о., алгебра F-это система подмножеств , котор. замкнута относ-но конечного числа опер-й слож-я, умн-я и доп-я. Если усл-е 2) выполн.для счетного числа соб-й,то алгебра F называется -алгеброй(сигма-алгеброй)
-постоянное событие;– невозможное событие; Ā-отрицательное событие.
2. Вероятность в дискретных пространствах элементарных событий.
Пусть содержит либо конечное, либо счетное число элемнт.соб-й: ={1,2,..} F-набор все подмножеств . F явл. -алгебра. Каждому эл.исходу i (i=1,2,..) поставим в соот-е неотриц.число P(i)=pi, такое что pi=1 и 0≤pi≤1. (аксиоматическое определение) Следствия: P(A)= p(i), 0≤P(A)≤1, P()=1, P()=0, P(Ā)=1-P(A), P(A+B)≤P(A)+P(B) или P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Вероятностное прост-во (,F,P) называется в этом случае дискретным.
3. Классическая схема равновероятных событий.
Если сожержит конечное число эл.соб-й,например N соб-й, причем все эл.исходы равновозможны,т.е. p(i)=1/N, i-1,2,..,N, то P(A)=|A|/||, где |A|-кол-во эл.исходы,составляющих множество А, а ||- число всех эл.исходов данного эксперимента. ||=N Такая ф-ла назыв. классическим определением вер-ти (Если эл.исходы равновозможны, то вер-ть соб.А равна отношению числа исходов,благоприятствующих соб.А, к числу всех эл.исходов)