![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
- •2. Вероятность в дискретных пространствах элементарных событий.
- •3. Классическая схема равновероятных событий.
- •4 Теорема сложения и умножения вероятности.
- •5. Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •5.Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики.
- •7.Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биномиальное распределение. Формула Пуассона
- •8.Распределение Пуассона
- •10.Нормальное распределение правило 3-х сигм
- •11. Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Механическая интерпретация. Условные распределения.
- •12.Мат. Ожидание и дисперсия суммы случайных величин. Мат ожидание произведения случайных величин.
- •13.Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелированность и независимость случ. Величин.
- •13.Законы больших чисел и предельные теоремы. Теорема Бернулли, Чебышева, Муавра-Лапласа
- •15.Асимптотическое распределение среднего арифметического независимых случайных величин и относительной частоты.
10.Нормальное распределение правило 3-х сигм
Нормальное
распределение
N(m,2)
имеет плотность, определяемую формулой:
Функция распр-я F(х) норм.распр-я равна:
Параметры m и 2 норм.распр-я равны соответственно мат.ожиданию и дисперсии случ.вел-ны Х:
Центральные моменты норм.распр-я можно вычислить из рекуррентного ур-ния:
μk+2=(k+1)2μk , k=0,1,2,… (причем μ0=1)
Для норм.распр-я все центр.моменты нечетного порядка равны 0.
Коэффициент ассиметрии ax норм.распр-я равен 0.
ax=μ3/3
Из формул получаем: μ2=2, μ4=34
Коэффициент эксцесса равен 0: ех= μ4/4-3=0
Стандартизированное нормальное распределение и его свойство.
Норм.распр-е с нулевым мат.ожиданием и дисперсией,равной 1, назыв.стандартным норм.распр-нием:
Х N(0,1)
Ф-ла плотности (х) станд.норм.закона равна
,
-<x<
А функция распр-я:
Так как плотность распр-я станд.норм.закона (х) симметрична относ-но оси ординат,то для ф-ции распр-я Ф(х) справедливо след.св-во: Ф(-х)=1-Ф(х)
Зн-я функции Ф(х) использ.при вычислении вер-ти попадания норм.распр-ной случ.величины Х в заданный интервал:
В практич.задач часто приходится вычислять вер-ть попадания случайной величины Х N(m,2) в интервал, симметричный относительно ее математического ожидания m:
Используя получ.рез-тат,вычислим вер-ть отклоенения от мат.ожидания норма.распр-ной случ.вел-ны на вел-ну,равную трем средневкадратич.отклонениям, 3:
P[|X-m|<3]=2Ф(3)-12*0,9987-10,9973
Этот результат известен как «правило трех сигм»: с вер-тью 0,9974(практически =1)зн-е нормально распределенной случ.вел-ны лежит в интервале (m-3;m+3)
Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
11. Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Механическая интерпретация. Условные распределения.
Рассмотрим две случайные величины X и Y, определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве (Ω,F,P). Обозначим значения, кот. принимает случ. величина Х через х1, х2, …, хn, а значения случ. величины Y через y1,y2,…,yn. Распределение вероятностей X и Y обозначим соответственно pх1, pх2, …, pхn и py1, py2, …, pyn. Вер-ть события, состоящего в том, что Х=хi и Y=yj, обозначим как P[X=xi; Y=yj]=pij.
Опр
Система равенств P[X=xi;
Y=yj]=pij,
pij>0,
,
pij=1,
i=1,2,
.., n,
j=1,2,..,m
определяет совместное распределение
дискретных случайных величин X
и Y
или системы 2-ух дискр. случ. величин
(X,Y).
Распределение системы 2-ух дискр. случ. вел. (X,Y) записывают в виде таблицы распределения.
Таблица (1)
Суммируя
вер-ти pij
по строкам,
получим рапределение случ. вел X:
,
i=1,2,
.., n,
суммирование вер-тей pij
по столбцам
дает распределение случ. вел. Y:
,
j=1,2,..,m.
Аналогично определяется распределение
системы более чем 2-ух случ. вел.
Условные
распределения:
Условная вер-ть события Х=хi при условии,
что Y=yj (pyi>0)
определяется формулой
(1). Система равенств (1) при , i=1,2,
.., n
задает условное
распределение
случ. вел. X при условии,что случ. вел Y
принимает заданное значение Y=
yj.
Опр
Определение независимости
случ. величин.
Пусть таблица (1) суть таблица распределения
случ. вел X и Y. Случ. вел-ны X и Y наз.
независимыми,
если события
X=xi и Y=yj независимы для всех i и j таких,
что 1≤i≤n,
1≤j≤m,
т.е.
или pij=
.(если
это условие не выполняется , то величины
зависимые) Если X и Y независимые случ.
вел., то таблица распределения (1) имеет
вид таблицы умножения. Аналогично
определяется взаимная независимость
более чем 2-ух случ. вел. Для независ.
случ. вел. Условные вер-ти равны безусловным
вер-тям
=
,
Опр
Случайные величины X1, X2,..,Xn определенные
на одном дискретном вероятностном пр-ве
наз. взаимно
независимыми,
если для любой комбинации значений
xi1,
xi2,
.., xin.
.
Опр Пусть случ. величины X и Yимеют конечные дисперсии. Ковариацией X и Y наз.. математическое ожидание произведения центрированных случ. величин (X-mx) и (Y-my):
cov(X,Y)=M[(X-mx)(Y-my)]=
M[XY]-mxM[Y]-mxM[X]+mxmy=M[XY]-mxmy
(Центрированной случайной величиной,
соответствующей величине Х, называется
отклонение случайной величины Х от её
математического ожидания)
Св-ва cov:
1.Если X и Y независимые случ. вел, то cov(X,Y)=0, обратное же неверное, т.е. если cov(X,Y)=0, это не значит,что величины независимы.
2.cov(aX,aY)=abcov(X,Y), где a и b – константы
3.cov(X,Y)≤
Это неравенство явл. следствием неравенства Коши-Буняковского: (M[XY])2≤M[X2]*M[Y2] (1).
Док-во нер-ва (1):
Рассмотрим очевидное неравенство M[(aX+Y)2] ≥0, где а-любое действительное число, а≠0. Преобразуем левую часть этого неравенства, используя св-ва мат. ожиданий
M[(aX+Y)2]=M[a2X2+2aXY+Y2]=a2M[X2]+2aM[XY]+M[Y2]≥0 Т. К. Полученный относительно a трехчлен принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант будет меньше или равен нулю: 4(M[XY])2-4M[X2] *M[Y2]≤0 Отсюда следует неравенство (M[XY])2≤M[X2]*M[Y2]. Заменим X на (X-mx), а Y на (Y-my), получим: (M[(X-mx)(Y-my)])2≤M[(X-mx)2]*M[(Y-my)2] или (cov(X,Y))2≤D[X]*D[Y]
Механическая интерпретация.
n-мерные случ. величины
(x1, x2,..,xn)- n-мерный случ. вектор
(x1,
x2,..,xn)=
M[ ]=(M[x1],…, M[xn]), т.е мат. ожидание вектора равняется вектору мат. ожиданий.
Cov(Xi;Yj)=M[(Xi-mxi)(Yj-myj)], j,i=1,..,n
-ковариационная
матрица (симметрична)
-корреляционная
матрица(симметрична)
D[x1+x2+x3]=D[x1]+D[x2]+D[x3]+2cov(x1,x2)+2cov(x2,x3)+2cov(x1,x3)