2.5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной f ′(z0 )

Пусть w=f(z) аналитическая в точке z0

и

f ′(z0 ) ¹ 0 . Образ этой точки обозначим через

w . Пусть G

произвольная гладкая кривая в плоскости

z

, проходящая через точку z ,

а

0

1

0

%

– ее образ в плоскости W, проходящая через точку w

(рис.2.4).

G

1

0

y

z

y

w

%

jG1

G1

w

j%

1

1

z0

0

0

x

0

u

Рис. 2.4.

Обозначим через j1

угол между касательной к кривой G1 в точке z0

с осью 0x, а через

%

%

¢

¢

iα

, угол, составленный касательной к G1 в точке w0 с осью 0u. Полагая

,

j1

f (z0 ) =| f

(z0 ) | e

где α = arg f ′(z0 ) , причем α= lim arg Dw - lim arg Dz . Если точка z0 + Dz

лежит на кривой G1 ,

z→0

z→0

%

Это означает, что arg z и arg

w являются углами

то точка w0 + Dw лежит на кривой G1 .

секущих

z

и

w с осями 0x и 0u поэтому,

%

и lim arg Dz = j1 . Окончательно

lim arg Dw = j1

получим

z→0

z→0

α=arg f ′(z0 ) = j%1 - j1 .

(2.8)

Аргумент производной,

если f ′(z0 ) ¹ 0

геометрически представляет собой угол,

на кото-

%

по сравнению с касательной к кривой Γ .

рый поворачивается касательная к образу G1

Геометрический смысл модуля |

f ′(z0 ) | . Заметим, что

f ¢(z0 )

= lim

| f (z) - f (z0 ) |

. Числа

z→z0

| z - z0 |

| f (z) - f (z0 ) |=| w - w0 |

и | z - z0 | – расстояние между образами и прообразами. С точностью

до величин более высокого порядка чем |

z |, можно записать:

f (z)

-

f (z0 )

=

¢

-

z0 | или |

D

=

′

D

z | .

| f

(z0 ) || z

w |

| f (z0 ) ||

Вывод |

f ′(z0 ) |

- коэффициент растяжения (сжатия) окрестности точки z0

при отображе-

нии посредством функции f (z).

Бесконечно

малые

круги

| z - z0 |£ δ

преобразуется

в бесконечно

малые круги

| w - w0 |£

%

δ .

6)

eiz - e−iz

eiz + e−iz

sin z

cos z

;

sin z =

, cos z =

, tgz =

, ctgz =

2i

2

cos z

sin z

7)

sh z =

ez

- e−z

, ch z =

ez + e−z

, th z =

sh z

,cth z =

ch z

,

2

2

ch z

sh z

(shz= –isini z, chz=cos iz, thz= –itgiz, cthz= –i ctgiz).

8)

Общая

степенная

функция

f (z) = za , где

a = α + iβ определяется равенством

za = eaLnz .

9) Общая показательная функция

f (z) = az ,a ¹ 0 , определяется равенством az = ezLna .

с комплексным периодом

T = 2kπi, k = ±1,±2,K,

т.к.

e2kπi =1 .

Функции w=sin z,

w=cos z,

удовлетворяют тождеству

sin2 z + cos2 z =1,

но

уже не

удовлетворяет

условию

| sin z |≤ 1, | cos z |≤1.

а)

w = z + z2 ;

б) w =

1

;

в)

w = e−z ;

г)

w = sin z ;

д) w = tgz.

2.2. Вычислить:

z

÷ö3i

а)

ii ;

б) 1i ;

в)

çæ1+ i

;

г)

sin πi ;

д) th2i .

è 2

ø

а) w = z2 × z ;

б) w = z ×ez ; в) w =| z | Re z ; г) w = zn ;

д) w = sin z ;

е) w = e5z ;

ж) w = ln z .

dv = vx¢dx + v¢ydy = -u¢ydx + u¢xdy.

(2.9)

Функция v(x, y) находится интегрированием

(x, y)

v(x, y) = ò -u¢ydx + u¢xdy + c ,

(2.10)

(x0 , y0 )

Решение.

Найдем частные

производные

первого порядка функции u(x, y):

¶u = 2ex cos y,

¶u

= -2ex sin y . Так как функция u(x, y) определена при всех значениях пере-

¶x

¶y

менных x, y возьмем в качестве точки M0 (x0 , y0 )

начало координат (0, 0). По формуле

(2.10) получим

(x, y)

v(x, y) =

ò 2ex sin ydx + 2ex cos ydy + c .

(0,0)

y

v(x, y) = 2ex òcos ydy + c =2ex sin y

0

y + c = 2ex sin y + c.

0

а)

u(x, y) = x2 - y2 + x, f (0) = 0 ;

б) u(x, y) = e− y cos x, f (0) =1;

в)

v(x, y) = 3x2 y - y3, f (0) =1; г)

u(x, y) = e−2x cos2y, f (0) = 2 .

д)

v(x, y) = 2(2shxsin y + xy), f (0) = 3 ;

е)

u(x, y) = e− y cos x + x, f (0) =1.