Свойства степенных рядов.

Так как степенные ряды частный случай функциональных рядов, то они обладают всеми свойствами сходящихся функциональных рядов, в частности сумма степенного ря- да в круге его сходимости является аналитической функцией, степенные ряды можно по- членно интегрировать, дифференцировать в круге сходимости, радиусы полученных сте- пенных рядов совпадают с радиусом сходимости исходного степенного ряда.

4.4. Разложение функций в ряд Тейлора

∞

Предположим, что ряд åcn (z - z0 )n сходится в круге | z - z0 |< R к функции f (z), тогда

n=0

получим, что

c0 = f (z0 ),c1 = f ¢(z0 ), n!cn = f (n) (z0 ) ,

т.е.

cn = f (n) (z0 ) ,n = 0,1,2,K . n!

Числа cn называются коэффициентами Тейлора функции f (z), а степенной ряд с этими ко- эффициентами называется рядом Тейлора функции f (z) по степеням (z - z0 ) . Если z0 = 0 ,

то ряд называется рядом Маклорена. Имеет место теорема о разложении функции в ряд Тейлора.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

k!

то

c%k = ck .

Следствие из теоремы Тейлора. Теорема Тейлора доказывает справедливость раз- ложения аналитической функции в круге. Если функция f(z) аналитическая в области G и z0 G , то f(z) можно разложить в ряд по степеням (z − z0 ) , который будет сходится к f (z)

в круге

| z − z0 |< Rz0 ,

где

Rz0 = min | η − z0 |,η ГD .

Ряды Тейлора для элементарных функций.

Справедливы равенства

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Эти ряды сходятся в круге | z |<1.

Доказательство этих разложений такие же, как в обычном анализе.

При решении задачи разложения функции в ряд Тейлора часто применяются искусствен- ные приемы, рассмотрим примеры.

Пример. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z0 = 0 функцию

Решение. Разложим данную функцию на элементарные дроби методом неопределен- ных коэффициентов:

Из тождества z = A(z − 3) + B(z +1) , полагая последовательно z = −1, z = 3 , находим

A = 14 , B = 34 ,

т.е.

f (z) = 14 × z 1+1 + 34 × z 1- 3 .

Преобразуем правую часть равенства следующим образом:

Радиус сходимости можно определить двумя способами. Ряд в первой скобке сходится в круге | z |<1, ряд во второй скобке в круге | z |< 3. Оба ряда сходятся в круге | z |<1, поэтому

радиус сходимости R=1.

Второй способ определения R следует из формулы для

Радиус сходимости R равен расстоянию от центра круга z0 до ближайшей точки ηÎ γr при которой знаменатель обращается в нуль. В нашем случае z0 = 0 , а точка η = −1. По-

этому радиус сходимости равен

Решение. Преобразуем данную функцию следующим образом:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Ряд сходится в круге | z - 3 |< 32 .

При разложении в ряды Тейлора отношения двух функций, ряды Тейлора которых извест- ны, полезно применять метод неопределенных коэффициентов. Суть метода рассмотрим на конкретном примере. Теоретической основой метода является единственность разло- жения функции в ряд Тейлора.

Пример. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три от- личные от нуля члена разложения функции f(z)=tgz в окрестности точки z=0.

Решение. tgz = cossin zz . По методу неопределенных коэффициентов, справедливо равен-

ство

cossin zz = a0 + a1z + a2 z2 + a3z3 + a4 z4 +K .

Здесь a0,a1,a2 ,…- неопределенные коэффициенты.

Так как функция tg z, нечетная, то a0 = a2 = a4 =K = a2n = 0 .

Учитывая известные разложения для функций sinz, cosz получим тождество: