4.Функциональные ряды

4.1.Основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Определение. Последовательность функций f1(z), f2 (z),K называется равномерно

сходящейся к функции f (z) в области G (или на кривой Г), если для любого ε > 0 найдется число n0 зависящие только от ε , такое, что при n ³ n0 для всех z G (или на Г) имеет ме-

ε > 0 и обозначим через z0 , произвольную точку

области G (или Г). В силу равномерной сходимости найдется номер n такой, что для всех z из G (нат)

В силу непрерывности fn (z) в точке z0 найдется такое число δ > 0 , что для всех z из G (на Г), удовлетворяющих неравенству | z - z0 |< δ ,

| f (z) - f (z0 ) |£| f (z) - fn (z) | + | fn (z) - fn (z0 ) | + | fn (z0 ) - f (z0 ) |£

£3ε + 3ε + 3ε = ε,

аэто и означает непрерывность f(z).

Теорема 2. Если последовательность непрерывных функций f1(z), f2 (z),K, fn (z),K, на кривой Г равномерно сходится к f(z), то справедливо предельное соотношение

Доказательство. Зададим ε > 0 . В силу равномерной сходимости найдется такое чис- ло n0 , что для всех n ³ n0 и для всех z на Г,

а это и означает справедливость равенства (4.3).

Доказанная теорема дает возможность переходить к пределу под знаком интеграла в слу- чае равномерной сходимости последовательности функций.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

С понятием равномерной сходимости последовательности функций тесно связано понятие равномерно сходящегося функционального ряда.

∞

Определение. Функциональный ряд å fn (z) называется равномерно сходящимся в

n=1

области G (или на кривой Г), если последовательность его частичных сумм s1(z),s2 (z),K сходится в этой области (на этой кривой) равномерно. Для исследования рав-

номерной сходимости функциональных рядов применяется достаточный признак равно- мерной сходимости – признак Вейерштрасса.

n=1

Обозначим его сумму через s(z) . Для любого n остаток ряда rn (z) = s(z) - sn (z) удовлетво-

ряет неравенству

| sn (z) - sn (z) |< ε , что и означает равномерную сходимость функционального ряда.

Из теорем 1, 2 следует, что сумма равномерно сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна, и такой ряд можно почленно интегрировать, т.е.

∞∞

òå fn (z)dz = åò fn (z)dz.

4.2. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций

Покажем, что аналитические функции имеют производные любого порядка, которые сами являются аналитическими функциями.

Теорема. Если функция f(z) аналитическая в области G и непрерывна в G , то она об- ладает в каждой точке G производными всех порядков, причем n-я производная представ-

ляется формулой

где Г – граница области G.

Доказательство. Пусть z – произвольная внутренняя точка области G. По определе- нию производной и формуле Коши, имеем

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Пользуясь этими неравенствами докажем две теоремы.

Теорема Лиувилля. Если f(z) аналитическая во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.

Доказательство. Пусть для всех z выполнено неравенство | f (z) |≤ M . Для произволь-

ной точки z комплексной плоскости и для любого R имеет место неравенство: | f ′(z) |≤ MR .

В этом неравенстве левая часть не зависит от R, а правая при увеличении R может быть сделана сколь угодно малой, т.е. | f ′(z) |= 0 , т.е. f (z) = const .

Следующая теорема обратная основной теореме Коши.

Теорема Морера. Если функция f (z) непрерывна в односвязной области G и интеграл !ò f (z)dz по любому замкнутому контуру лежащему в G равен нулю, то f (z) аналитическая

Г

в этой области.

z

Доказательство. Из условий теоремы следует, что в области G интеграл ò f (η)dη не

z0

z

зависит от пути интегрирования. Но тогда функция F(z) = ò f (η)dη имеет производную

z0

F′(z) = f (z) , т.е. функция F (z) является аналитической. Но по теореме 3.5 функция f (z)

как производная аналитической функции также является аналитической функцией.

Свойства функциональных рядов из аналитических функций.

Рассмотрим равномерно сходящиеся ряды из аналитических функций. Эти свойства со- держатся в двух теоремах доказанных Вейерштрассом.

∞

Теорема 1. Если ряд å fn (z) составленный из функций аналитических в односвязной

n=1

области G, равномерно сходится в этой области, то его сумма s(z) также является анали- тической функцией в G.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Доказательство. Действительно сумма ряда непрерывная функция в G. Пусть Г – произвольный замкнутый контур лежащий в G. В силу равномерной сходимости ряда его можно почленно интегрировать вдоль кривой Г, мы получим

∞

!ò s(z)dz = å fn (z)dz = 0 .

Гn=1

Так как Г – произвольный контур по теореме Морера, можно утверждать, что s(z) анали- тическая в области G.

∞

Теорема 2. Произвольный ряд å fn (z) , составленный из аналитических функций в

n=1

области G и непрерывных в G , равномерно сходящийся в G , можно почленно дифферен- цировать в G любое число раз.

Замечание. Необходимо отметить, что равномерная сходимость ряда из аналитиче- ских функций в области G следует из равномерной сходимости ряда на границе области.

4.3.Степенные ряды

∞

Важным частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды åcn zn

n=0

∞

по степеням z и åcn (z - z0 )n по степеням (z - z0 ) .

n=0

Справедлива теорема Абеля о сходимости степенных рядов.

∞

Теорема. Пусть степенной ряд åcn zn сходится в точке z0 ¹ 0 . Тогда он абсолютно

n=0

сходится в любой точке z, для которой | z |<| z0 | , и равномерно в круге | z |£ r <| z0 |. Если степенной ряд расходится в точке z1 , то он расходится во всех точках z таких, что | z |>| z1 | .

Доказательство. Доказательство теоремы Абеля, аналогично случаю степенных ря- дов с действительной переменной x. Из теоремы Абеля следует, что существует круг ра- диуса R в котором степенной ряд сходится. Этот круг называется кругом сходимости. Для определения радиуса сходимости R применяется либо признак Даламбера либо радикаль-

∞

ный признак Коши для ряда å cn | z |n .

n=0

Замечание. Для сходимости ряда на границе круга сходимости, часто используется

ряда на границе круга сходимости. Здесь |z|=1, поэтому ряд из абсолютных величин рас-

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com