Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TERECSHENKO.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

611.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

6. Элементы операционного исчисления

При решении многих прикладных задач с неизвестной функцией x(t) действительного переменного t, значительно проще решать задачи с образами этих функций полученных в результате ее интегрального преобразования. При этом часто дифференциальные, инте- гральные уравнения относительно x(t) заменяются на более простые алгебраические урав- нения относительно образа этой функции. Такой метод решения задач называется опера- ционным. Применение операционного метода можно сравнить с логарифмированием, когда: 1) от чисел переходят к логарифмам; 2) над логарифмами проделывают операции;

3)от найденных логарифмов возвращаются к числу.

Вэтой главе излагаются основные положения операционного метода.

6.1.Определение оригинала, изображение оригинала

Определение. Изображением функции f(t) называют функцию комплексной перемен- ной p=a+ib, определяемую соотношением

∞
F( p) = òe− pt f (t)dt .	(6.1)
0

Функция F(p) называется преобразованием Лапласа для функции f(t). Выражение: «функ- ция f(t) имеет своим изображением F(p)» будем записывать символическим равенством

f (t) ! F( p) или F( p) ! f (t) .
&	&

Функция F(p) существует не для всех функций f(t). Для того, чтобы существовала функ- ция F(p), функция f(t) должна быть оригиналом. Функция f(t) должна удовлетворять сле- дующим условиям:

1)f (t) º 0 при t < 0 ;

2)при t ³ 0 функция f(t) может иметь только конечное число точек разрыва первого

рода;

3)функция f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие

постоянные M > 0, α ³ 0 , что для всех t t ³ t0 > 0, | f (t) |≤ Meαt . Число α называют показа-

телем роста функции f(t). Для ограниченных оригиналов можно полагать α = 0 . Функция F( p) является аналитической функцией при Re p > α (рис.6.1). Действительно, покажем,

что существует F ′( p) , при Re p > α .

		0	α	a
			Рис.6.1.
		∞
		∞
¢	=	òt exp(-at - ibt) × f (t)dt	£
¢
F ( p)

		0

∞	∞	(6.1)
£ òexp(-at) ×tM exp(αt)dt = M òt exp(-(a - α))t)dt < ¥,		(6.1)
0	0

при a > α .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Законность дифференцирования несобственного интеграла по параметру следует из абсолютной сходимости продифференцированного интеграла (подинтегральная функция

f (t) ×t ×e− pt кусочно-непрерывная).

Замечание 1. Если p стремится к бесконечности, т.к. Re p = a неограниченно возраста- ет, то F( p) стремится к нулю, (следует из неравенства

∞∞

òe− pt f (dt) £ òMe−(a−α)t dt = aM- α ).
0	0

Примеры. Найти изображение заданных функций:

а)

ì0, t < 0,

(функция Хевисайда).

σ(t) = í

î1,t ³ 0.

б)

f (t) = eat ;t ³ 0,0 при t < 0 .

Решение. Указанные функции являются оригиналами. Для них выполнены все усло-

вия, поэтому получим:

∞

а)

F( p) = òe− ptσ(t)dt = -

e− pt

(M =1, α = 0, Re p

> 0) .

∞

б)

F( p) = òe− pteat dt = òe−( p−a)t dt = -

e−( p−a)t =

p - a

, Re( p - a) > 0 .

p - a

Замечание

2. Интегральное

преобразование

Лапласа, часто записывают в виде

∞

F( p) = L[ f (t)] , где L – интегральный оператор L = ò(·)e− pt dt .

Замечание 3. В дальнейшем изложении все функции предполагаются умноженными на функцию Хевисайда.

6.2.Свойства преобразования Лапласа

1.Свойство линейности. Для любых комплексных чисел α,β справедливо равенство

αf (t) + βg(t) ! αF( p) + βG( p) ,

где

f (t) ! F( p), g(t) ! G( p) .

& &

Это свойство, является свойством интегралов. Используя это свойство, получим важные соотношения:

sin ωt

Аналогично,

cost

=	eiωt - e−iωt				1	æ		1	-
				!			ç
		2i
			&		2i è p - iω
!		p	; sh ωt			!		ω

&	p2 + ω2						& p2 - ω2

1	ö	=			ω			.
	÷
	÷			p2	+	ω2
p + iω ø				p2	+	ω2
; ch ωt !				p			.
; ch ωt !			p2 -		ω2		.
	&		p2 -		ω2

2. Теорема подобия. Для любого постоянного c >0,

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

p ö

f (ct) !

F ç

÷ .

Действительно

& c

c ø

∞

u = ct

∞

L[ f (ct)] = òe− pt f (ct)dt =

òe−

f (u)du =

dt = du

p ö

÷.

c ø

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f(t),

′

(t),

, f

(n)

(t)

– оригиналы и

f (t) ! F( p) , то

(n)

n−1

(t) ! pF ( p) - f (0),K, f

(t)

! p

F ( p) - p

f (0)

(n−1)

- p

n−2

(0),

(0) -K - f

где

f (k ) (0) = lim f (k ) (t), k = 0,1,2,K,n -1.

t→0+0

Действительно

∞

f ¢(t) !& ò f ¢(t)e− pt dt = ( f (t) ×e− pt )

0∞

+ pò f (t)e− pt dt .

Так как Re p = a > α , то

f (t) ×e− pt

£ Me(a−α)t , и при t → ∞ f (t)e − pt = 0 , а при t=0 имеем f (0),

поэтому:

′

(6.3)

f (t)

& pF ( p) − f (0)

Применив эту формулу дважды, получим:

′′

′

= p

F ( p) − pf (0) − f

′

f (t)

& p( pF ( p) − f (0)) − f

(0)

(0) , и т.д.

Пример. Найти изображение f (t) = sin2 t .

Решение. f ′(t) = 2sin t cost = sin 2t .

L[ f ¢(t)] = L[sin 2t] =

. С

другой стороны,

p2 + 4

= pF( p) - f (0) , где

F ( p) ! sin2 t, f (0) = sin 2

0 = 0 , поэтому F( p) =

p2 +

p( p2

+ 4)

Замечание. Из (6.3) следует, что lim

pF( p) = f (0) .

p→∞

4. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изображения сводится к умножению на (– t) оригинала,

F(n) ( p) ! (-1)n tn f (t) (tn f (t) ! (-1)n F(n) ( p)).
&	&

Действительно, так как F( p) является аналитической в полуплоскости Re p > α , то ее можно дифференцировать по p, и мы получаем:

¢	∞		− pt
	òt f (t)e			dt = -L[t × f (t)],
F ( p) = -
	0
∞		2	− pt	2 é 2	ù
¢¢
				dt = (-1) L ët f (t)û
F ( p) = òt f (t)e
0

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ит.д. Из свойства (4) и равенства 1 ! 1 , следует, что

tn !	n!	,tnebt !	n!	.

& pn+1		& ( p - b)n+1

5. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изо-

	t	&	p
	ò	&	p
бражения на p:		f (u)du !	F( p)	.
бражения на p:	0	f (u)du !		.
	0
		t

Функция g(t) = ò f (u)du является оригиналом. Действительно, первые два условия вы-

полнены, а третье вытекает из неравенства

	t		t		M		t £ M eαt .
\| g(t) \|£	ò	f (u)du £ M	ò	eαudu =	M	eαu
\| g(t) \|£		f (u)du £ M		eαudu =	α	eαu
					α		0	1
								1
	0		0

Обозначив изображение g(t) через G(p), и учитывая, что g(0)=0, по свойству дифференци- рования оригинала получим:

F( p)

L[g (t)] = p ×G( p) - g(0) =

F( p), G( p) =

∞

Интегрирование изображения. Если интеграл òF(u)du

сходится, то он служит

f (t)

∞

изображением функции

, т.е.

!& òF(u)du .

∞

f (t)

Действительно, обозначив F( p) = òe− pt

, имеем т.к. Φ( p)

изображение, то Φ(∞)=0 .

По теореме о дифференцировании изображения:

f (t)

= - f (t) , но − f (t) ! −F( p) ,

F ( p)

! (-t) ×

∞

поэтому

Φ′( p) = −F ( p)

φ( p) = -òF(u)du + c ,

но

Φ(∞) = 0 , поэтому c=0, следовательно

f (t)

∞

!& òF(u)du .

Пример. Найти изображение

f (t) =

1- et

Решение.

1- et ! ∞ò t &

f (t) =1- et		!	1	= F( p) ;
f (t) =1- et		!		= F( p) ;
		& p( p -1)
du	∞	(u - (u -1))		∞ du		∞ du
	= ò			=ò		- ò		=
u(u -1)	= ò		u(u -1)	=ò	u -1	- ò	u	=
	p			p		p

= ln(u -1)

∞ - ln u

∞ = ln

u -1

∞

= -ln

p -1

= ln

, Re p >1 .

p -1

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

7. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа τ > 0, f (t − τ) ! e− pτ F( p) .

Т.к. f (t − τ) = 0 , при t < τ , то

∞

L[ f (t - τ)] = ò f (t - τ)e− pt dt = ò f (t - τ)e− pt dt =

t - τ = u

∞

t = u + τ

= ò f (u)e− pu− pτdu = e− pτ F( p).

dt = du

8. Теорема смещения. Для любого комплексного числа λ

eλt f (t) ! F( p − λ) .

Имеем &

∞

− pt

−( p−λ)t

λt

f (t)dt = òe

f (t)dt = F( p

- λ) .

L ëe

f (t)û = òe

9. Изображение свертки функций. Сверткой функций f(t) и g(t), 0 ≤ t < ∞ , обозначае-

мой ( f * g ) называется интеграл

φ(t) = ( f * g) = ò f (τ)g(t - τ)dτ .

Функция φ(t) является оригиналом, первые два свойства выполнены, а третье следует из

оценки

	t				t
	ò f (τ)g(t - τ)dτ		£ M		òeα1τ eα1(t−τ)dτ		= Mteα1t ,
	0				0
где α1 – наибольший из показателей роста функций f(t), g(t).
Отсюда следует, что
		t
		t
		ò f (τ)g(t - τ)dτ				£ M1eα2t .
		0
Следовательно,
		∞		æ t				ö
	L[( f * g)] = òe			− pt ç	ò f (τ)g(t - τ)dτ			÷
	L[( f * g)] = òe			ç	ò f (τ)g(t - τ)dτ			÷dt =
0				è	0			ø

∞∞

=ò f (z)dτòe− pt g(t - τ)dτ = F( p) ×G( p),

0	τ
∞

т.к. òe− pt g(t - τ)dτ = e− pτG( p) по теореме запаздывания.

Интеграл Дюамеля. В приложениях операционного начисления, часто изображения приводятся к виду p × F( p) ×G( p) . Оказывается, что с помощью оригиналов f(t) и g(t) мож-

но найти оригинал и для выражения p × F( p) ×G( p) .

Для этого запишем это выражение следующими двумя способами:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

pF( p)G( p) = f (0) ×G( p) + ( pF( p) - f (0))G( p)

или

pF( p)G( p) = g(0) × F( p) + ( pG( p) - g(0)F( p) .

Но

pF ( p) − f (0) !

поэтому

f ′(t), pG( p) − g(0) ! g′(t) ,

&		t
&	ò		¢
pF( p)G( p) ! f (0) × g(t) +			f (τ) × g(t - τ)dt ,
или		0
или		t
&		t
&		ò	¢
pF( p) ×G( p) ! g(0) × f (t) +			g (τ) × f (t - τ)dt .
		0

Пример. Найти изображение периодической функции f(t) с периодом T, если известно

ì f (t), t Î(0,T );

изображение G(p) функции g(t) = í

î0, t Ï(0,T ).

Решение. Пусть f (t) ! F( p) . Используя свойство периодичности функции f(t) и изо-
&
T
бражение G( p) = ò f (t)e− pt dt , преобразуем изображение F(p):
0		(k+1)T
∞	∞	(k+1)T
F( p) = ò f (t)e− pt dt = å		ò f (t - kT )e− pt dt .
0	k =0	kT
(k+1)T
Интеграл ò f (t - kT )e− pt dt	заменой t–kT=u приводится к виду
kT
T		T
ò f (u)e− pu− pTk du = e− pTk ò f (u)e− pudu .
0		0

После преобразований запишем изображение F(p):

	∞		T	∞	G( p)
F( p) = åe− pTk ò f (u)e− pu du = G( p)åe− pkT =					G( p)
						.
					1- e− pT	.
	k=0		0	k=0
Окончательно: F( p) =	G( p)	.
Окончательно: F( p) =		.
1	- e− pT

При решении задачи нахождения изображения полезно использовать таблицы 1, 2.

Таблица 1. Свойства изображений.

	Оригинал	Изображение
1	n		n
1	åci fi (t)	åci Fi ( p), ci = const
	i=1		i=1
2	f (ct)	1		æ p ö
				F ç	÷,c = const,c > 0
			c	F ç	÷,c = const,c > 0
			c	è c ø
3	f (t − τ)	e− pτF( p)
4	eλt f (t)		F( p − λ)

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Оригинал

Изображение

(n)

(t)

f (0)

(n−1)

(0)

pn ç F( p) -

-K-

(-1)n tn f (t)

F (n) ( p)

f (t)

∞

òF(u)du

F( p)

ò f (u)du

F( p) ×G( p)

ò f (τ)g(t - τ)dτ

lim pF( p)

lim f (t)

p→∞

t→0+0

Таблица 2. Изображение некоторых функций.

Оригинал f(t)

Изображение F(p)

1(σ(t))

pn+1

πt

ta , a > -1

G(a +1)

pa+1

eαt

p - α

tn−1eαt

n =1,2,K

(n -1)!

( p - α)n

(eat - ebt )

a - b

( p - a)( p - b)

sin ωt

p2 +ω2

cosωt

p2 + ω2

shωt

p2 - ω2

chωt

p2 - ω2

t sin ωt

2 pw

(p2 + w2 )2

t cosωt

p2 - ω2

(p2 +ω2 )2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.20196.78 Mб5Stroenie_veschestva_Laboratornye_raboty.doc
#
11.11.201880.38 Кб30Sushestvitelnoe-_rod_chislo.doc
#
03.12.2018645.63 Кб4Tablitsy.doc
#
05.06.2015361.98 Кб6tatwords.doc
#
19.04.2019262.84 Кб10Teoria_veroyatnostey_2.docx
#
05.06.2015611.32 Кб61TERECSHENKO.pdf
#
23.09.2019107.52 Кб12test1.doc
#
05.06.20151.22 Mб103Testy_k_ekzamenu.doc
#
16.11.2019458.24 Кб3topograficheskie_znaki (1).doc
#
26.11.201981.41 Кб3Trite metaphors.doc
#
25.11.20195.02 Mб59Uchebno-metodicheskoe_posobie_po_kursu_laborato...doc