|
Оригинал f(t) |
Изображение F(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
e−λt sin (ωt + α) |
|
ωcosα + ( p + λ)sin α |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( p + λ)2 + ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
ebt - eat |
ln |
p - a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
|
|
p - b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
e−α2t2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
p |
|
æ |
|
p öö |
|
2 |
|
x 2 |
|
||||||||
|
|
π |
æ |
, erf (x) = |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e4α |
ç1 |
- erf ç |
|
÷÷ |
|
|
|
|
e−u |
du |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ò |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
è |
2α øø |
|
|
π |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
6.1. Пользуясь определением, найти изображения следующих функций
а) |
f (t) = et ; |
|
|
б) f (t) = sin 3t ; |
в) f (t) = t × et ; |
|
ì0, t < 2 |
|
|
|
|
г) |
ï |
- 2),2 |
£ t £ 6 ; |
д) f (t) = t ×cosbt . |
|
f (t) = í(t |
|
||||
|
ï |
|
|
|
|
|
î4, t > 6 |
|
|
|
|
Используя свойства оригиналов и изображений и табл. 1, 2, найти изображения следующих функций:
е) |
f (t) = sin2 t ; |
|
|
ж) |
f (t) = cos2 w ; |
|||
и) |
f (t) = |
sin 4t |
; |
|
|
к) |
f (t) = t2 cost ; |
|
|
|
|
||||||
|
|
t |
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
t |
|
|
||
м) |
f (t) = t2e3t ;н) |
ò |
sin |
dt ; |
||||
t |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
з) f (t) = sin 2t ×sin 4t ;
л) f (t) = e−at ×sin mt ; t
п) òt et t-1dt .
0
6.3. Нахождение оригиналов
При решении задачи нахождения оригинала по известному изображению (обратная задача операционного исчисления) используется таблица 2.
e−2 p
Пример 1. Найти оригинал, если F( p) = p2 .
Решение. Наличие множителя e−2 p указывает, на то, что необходимо использовать теорему об изображении функции f (t - τ) , именно
e−2 p
! (t - 2)σ(t - 2) . p2 &
Пример 2. |
F( p) = |
p + 2 |
. Для нахождения f(t) с помощью таблицы 2 преобразуем |
p2 + 6 p - 8 |
дробь, определяющую F(p):
|
F( p) = |
p + 2 |
|
= |
p + 2 |
|
= |
( p + 3) -1 |
= |
||||
|
p2 + 6 p + |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
10 ( p + 3)2 |
+1 ( p + 3)2 +1 |
|||||||
= |
p + 3 |
|
- |
|
1 |
|
! e−3t cost - e−3t ×sin t = e−3t (cost - sin t) . |
||||||
( p + 3)2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
+1 ( p + 3)2 +1 |
& |
|
|
|
|
|
|
|||||
В более сложных случаях для нахождения функции оригинала используются следующие теоремы.
Теорема существования оригинала. Пусть функция F(p) удовлетворяет условиям:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
b
R |
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 α x |
a |
|
|
|
|
|
|
pn |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.6.2. |
|
|
|
|
|
|
|
1) F(p) аналитическая для Re p > α ; |
|
|
|
|
|
|
|
2) в области Re p > α равномерно относительно |
é |
- |
π |
; |
π ù |
, |
F( p) → 0 при | p |→ ∞ ; |
arg p Î ê |
2 |
ú |
|||||
|
ë |
|
|
2 û |
|
|
x+i∞
3) для всех x > α сходится интеграл ò | F(x + iy) | dy £ M . Тогда при Re p > α функция
x−i∞
F(p) является изображением функции f(t) и определяется обращением преобразования Ла- пласа – интегралом Меллина
f (t) = L−1[F( p)] = |
1 |
x+i∞ |
|
|
ò F( p)e pt dp, x > α. |
(6.4) |
|||
2πi |
||||
|
|
x−i∞ |
|
Вычисление интеграла (6.4) в общем случае затруднительно. Рассмотрим частные случаи. 1. Пусть F(p) аналитическая при Re p > α , а при Re p < α удовлетворяет условиям лем-
мы Жордана: F(p) имеет конечное число изолированных особых точек p1, p2,K, pn |
и рав- |
||||||
π |
|
3π |
|
при | p |→ ∞ . Тогда для t > 0, ò e pt F( p)dp ® 0 |
|||
номерно относительно 2 |
£ arg p £ |
|
|
, F( p) ® 0 |
|||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ΓR |
|
при R → ∞ , где GR – левая половина окружности | p − x |= R, x > α (рис.6.2). |
|
||||||
Применяя теорию вычетов, получим |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
x+i∞ |
n |
|
|
|
f (t) = |
ò e pt F( p)dp = åвыч(ept F( p); p = pk ) |
(6.5) |
||||
|
2πi |
||||||
|
|
|
|
|
x−i∞ |
k =1 |
|
2. Если функция F(p) разлагается в ряд по отрицательным степеням p и, крометого F( p) → 0 при p → ∞ , то эта функция является изображением и может быть представлена в виде
F( p) = ∞ ck .
kå=0 pk +1
Оригиналом для F(p) служит функция f(t), определяема при t > 0, сходящимся рядом
|
|
|
∞ |
t |
k |
|
|
|
f (t) = åck |
|
(6.6) |
||
|
|
k! |
||||
|
|
|
k =0 |
|
||
|
Rn ( p) |
|
|
|
|
|
1. Если F( p) = |
, где n >m, R ( p),Q ( p) |
|
– многочлены степени m, n соответст- |
|||
|
|
|||||
|
Qn ( p) |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
венно, для нахождения оригинала можно применить метод неопределенных коэффициен- тов (разложение F(p) в виде суммы элементарных дробей, аналогично случаю интегриро- вания рациональных дробей) или использовать формулу (6.5), вычисляя вычеты по
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
соответствующим формулам. В общем случае, когда изображение является рациональной
функцией
|
R ( p) |
|
|
|
a pm + a pm−1 +K+ a |
|
|
|||||
F( p) = |
m |
|
= |
|
0 |
|
1 |
m |
|
, |
||
Qn ( p) |
b ( p - p )k1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
( p - p )k2 K( p - p )ke |
|||||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
e |
||||
k1 + k2 +K+ ke = n , оригинал f(t) определяется по формуле: |
|
|
||||||||||
|
l |
|
|
|
1 |
|
|
k |
(( p - pi )ki F( p)e pt ) |
|||
f (t) = L−1[F( p)] = åi=1 |
|
lim |
d i−1 |
|||||||||
(ki |
-1)! |
d ki −1 |
||||||||||
Если все корни простые, то ki =1 и формула (6.7) принимает вид:
f(t) = ån Rm ( pi ) e pit (t > 0) .
i=1 Qn ( pi )
Вчастном случае, если Qn ( p) = pQ1( p) и Q1( p) имеет только простые корни
f (t) = Rm (0) + ån−1 Rm ( pi ) e pit . Q1(0) i=1 piQ1( pi )
Пример 1. Найти оригинал f(t), соответствующий изображению
(6.7)
pi ¹ 0 , то
(6.8)
F( p) = 1 . ( p -1)( p - 2)
Решение. Найдем f(t) несколькими способами. Сначала используем формулу (6.4). Т.к. F( p) → 0 при | p |→ ∞ , аналитическая во всех точках комплексной плоскости, за исключе-
нием точек p1 =1, p2 = 2 , которые являются простыми полюсами, то по формуле (6.4), где x>2, имеем
|
|
|
|
1 |
|
x+i∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x+i∞ |
|
e pt |
|
|
|
||
f (t) = |
|
ò e pt F( p)dp = |
|
ò |
|
dp = |
||||||||||||||||
2πi |
|
2p |
( p -1)( p - 2) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x−i∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x−i∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
é |
e |
pt |
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
e |
pt |
( p -1) |
|
|||
= |
å |
вычê |
|
|
|
|
; p = p |
÷ = lim |
|
+ |
||||||||||||
( p -1)( p - 2) |
( p -1)( p - 2) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ê |
|
|
|
k ÷ |
p→1 |
|
|||||||||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ lim |
|
e pt ( p - 2) |
= |
et |
|
|
+ e2t |
= e2t - et , t > 0 |
|
|||||||||||||
( p -1)( p - 2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
p→2 |
-1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Этот же пример решим с помощью метода неопределенных коэффициентов с использова- нием таблицы 2.
Имеем |
1 |
= |
A |
|
+ |
B |
. |
|
( p -1)( p - 2) |
p -1 |
p - 2 |
||||||
|
|
|
|
|||||
После приведения к общему знаменателю получим из равенства числителей уравне- ние для определения A, B именно 1 = A( p − 2) + B( p −1) . Полагая соответственно p=1, p=2,
находим A= –1, B=1. Следовательно, |
1 |
= |
1 |
- |
1 |
|
. Используя таблицу 2, по- |
|
( p -1)( p - 2) |
p - 2 |
p -1 |
||||||
|
|
|
|
|||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
лучим |
f (t) = e2t - et , t > 0 . Эту же задачу можно решить с помощью теоремы о свертке. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь |
1 |
= F( p) ×Q( p) . Используя таблицу 2, находим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( p -1)( p - 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Q( p) = |
|
|
|
1 |
|
|
! j(t) = et , F( p) = |
|
1 |
|
|
|
! g(t) = e2t , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p -1 & |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 & |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
следовательно, по теореме о свертке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
f (t) = òj(t)g(t - t)dt = òeτe2(t−τ)dt =e2t (-e2 ) |
|
t0 = e2t - et . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. Найти оригинал для изображения F( p) = |
1 |
cos |
|
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
||||
Решение. Разложим cos |
1 |
|
|
в ряд по степеням |
|
1 |
|
; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
F( p) = |
|
1 |
cos |
1 |
|
= |
|
1 |
- |
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
- |
|
1 |
|
|
|
|
+K . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! p3 |
4! p5 |
|
6! p7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Применяя формулу (6.5) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
t |
4 |
|
|
|
|
|
t |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(-1) |
k |
|
t |
2k |
||||||||||
|
|
f (t) =1- |
|
|
+ |
|
|
|
- |
|
|
+K = |
å |
|
|
|
, t > 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
(4!) |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2!) |
|
|
|
|
(6!) |
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
(2k!) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения
6.2. Используя различные методы, найти оригиналы следующих изображений
а)
г)
ж)
к)
|
|
p + 8 |
|
; |
|
||
p2 + 4 p + 5 |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
p( p - 2)( p - 3) |
|||||||
|
1 |
sin |
1 |
|
; |
|
|
|
|
p |
|
|
|||
|
p |
|
|
|
|||
p21+1(e−2 p + 2e−3p
|
б) |
|
|
2 |
|
; в) |
|
|
p(p2 + 4) |
||||
д) |
1 |
|
|
; |
|
|
( p -1)2 |
( p + 2) |
|
||||
|
|
|
||||
|
з) |
e−1/ p |
|
|
||
|
|
p |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3e−4 p );
1
(p2 + 4)(p2 + 9) ;
p
е) ( p - 2)( p2 -1) ;
|
|
|
|
и) |
æ |
|
1 |
ö |
; |
||
|
|
|
|
p ln ç1 |
+ |
|
|
÷ |
|||
|
|
|
|
p |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
л) |
e− p |
pe−2 p |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
p2 |
|
p2 - 4 |
|
|
|
|
|
||||
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
e− p /3 |
|
|
|
p + 2 |
|
м) |
|
|
; |
н) |
|
. |
p (p2 + |
1) |
( p +1)( p - 2)(p2 + 4) |
||||
6.4. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
операционным методом Одним из важнейших применений операционного исчисления является решение ли-
нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим ал- горитм решения на примере неоднородного уравнения:
x¢¢ + a1x¢ + a2 x = f (t), x(0) = a, x¢(0) = b . |
(6.9) |
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Операционный метод решения уравнения (6.9) состоит в предположении, что f(t), x(t), яв- ляются оригиналами. От уравнения (6.9) переходят к уравнениям для изображений. Пусть
f (t) ! F( p), |
x(t) ! X ( p) . Используя свойство |
дифференцирования оригинала, |
находим |
||||||||||
& |
& |
|
2 |
|
- ap - b . Уравнению (4.2) соответствует уравнение для изо- |
||||||||
¢ |
¢¢ |
(t) ! p |
X ( p) |
||||||||||
x (t) ! pX ( p) - a, x |
|
||||||||||||
& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бражений |
|
|
|
|
X ( p) · ( p2 + a1 p + a2 ) = F( p) + a1a + ap + b . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
(6.10) |
||||||||
Из уравнения (6.10) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
F( p) |
|
|
ap + b + a1a |
|
|||
|
|
|
|
|
X ( p) = |
|
|
+ |
|
|
. |
(6.11) |
|
|
|
|
|
|
p2 + a p + a |
2 |
p2 |
+ a p + a |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
||
По известному изображению находят оригинал. Если в формуле (6.9) начальные значения считать не заданными, а произвольными постоянными, то из (6.11) получается при реше- нии обратной задачи общее решение уравнения (6.9).
Пример. Найти частное решение уравнения
x |
′′ |
+ 2x |
′ |
+ x = f (t) , где f (t) |
|
ì1, 0 < t < 2 |
, x(0) |
|
¢ |
= 0 . |
||||||||||||||||
|
|
= í |
|
|
|
2 |
|
|
|
= x (0) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î3, t |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Уравнение для изображений имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
X ( p) · (p2 + 2 p +1)= F( p) , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F( p) ! f (t) = s(t) + 2s(t - 2) ! |
|
+ |
e−2 p . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
p |
|
p |
|
|
|
||||
Уравнение для изображения X(p): X ( p) = |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
2e−2 p |
|
|
|
. Используя метод неопреде- |
||||||||||||||
p |
( p +1)2 |
|
p( p +1)2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ленных коэффициентов, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
æ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
ö |
×(1- e |
−2 p |
). |
|
|||||||||
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
X ( p) = ç |
|
- |
|
|
- |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
p +1 |
|
( p +1) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
è p |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Переходя к оригиналам с помощью таблицы 2, и используя теорему запаздывания, имеем: x(t) = (1- e−t - te−t )s(t) + 2(1- e−(t−2) - (t - 2)e−(t−2) )s(t - 2) .
Замечание. При обозначении оригиналов, являющимися соответствующими функ- циями запаздывающего аргумента, необходимо указывать единичную функцию со-
ответствующего аргумента
F( p)e−αp ! f (t - a)s(t - a) , где F(t) ! F( p) . |
|
& |
& |
Это особенно важно при решении дифференциальных уравнений в случае, когда функция f(t) задается различными формулами на участке интегрирования дифференци- ального уравнения.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Задачи для самостоятельного решения
6.3. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным
начальным условиям
а) |
x′′ - 9x = 2 - t, x(0) = 0, x′(0) = 1; |
|
|||||||
б) |
x |
′′ |
- 4x = 4t, x(0) = |
′ |
= 0 ; |
|
|
||
|
1, x (0) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ì0, t < 2; |
|
|
в) |
x |
′′ |
+ x |
′ |
= f (t), где |
f (t) = |
ï |
¢ |
= 2 . |
|
|
í1, 2 |
£ t < 4; x(0) = 0, x (0) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
³ 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
î0, t |
|
|
г)
д)
е)
ж)
з)
x′′ - x = f (t), где |
ì1- t, 0 £ t <1, |
x(0) = 0 |
. |
|||||||
f (t) = í |
1; |
¢ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
î0, t ³ |
x (0) = 0 |
|
||
x |
¢¢ |
+ 3x |
¢ |
t |
, x(0) |
¢ |
; |
|
|
|
|
|
= e |
= 0, x (0) = -1 |
|
|
|
||||
x′′ + 2x′ = t sint, x(0) = 0, x′(0) = 0 ;
x′′ + x′ = cost, x(0) = 2, x′(0) = 0 ;
x¢¢ - x¢ = tet , x(0) = 1, x¢(0) = 0 .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com