2.Функции комплексной переменной

2.1.Множества точек на комплексной плоскости

Определение 1. ε – окрестностью точки z0 называется множество точек; z – ком- плексной плоскости таких, что | z - z0 |< e , где ε > 0 – заданное число. Условимся ее обо-

значить символом Uzε0 : Uzε0 = {z z - z0 < e}. Геометрически Uzε0 представляет собой внут- ренность круга радиуса ε с центром в точке z0 (рис. 2.1)

y z

z0

0 x

Рис. 2.1.

Определение 2. Множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющее усло- вию | z |= R > 0 , называют R - окрестностью бесконечно удаленной точки, и обозначают

U∞R . Бесконечно удаленную точку обозначают символом ∞ , а комплексная плоскость , вместе с точкой z = ∞ называется расширенной комплексной плоскостью. По

ческого изображения бесконечно удаленной точки z=∞, используют сферу радиуса 1 – сферу Римана (рис. 2.2). Каждая точка сферы – образ точки комплексной плоскости z.

N

При удалении M в бесконечность по любому направлению, соответствующие точки M1 на сфере будут стремиться к N, т.е. точка N – изображение на сфере бесконечно уда-

ленной точки комплексной плоскости z = ∞ . Наглядным представлением расширенной ком- плексной плоскости является вся сфера. Комплексная плоскость, образованная лишь ко- нечными точками называется конечной комплексной плоскостью, представляет собой сферу Римана из которой исключена одна точка N.

Определение 3. Точка z0 называется внутренней точкой множества G, если вместе с точкой z0 множество G содержит некоторую окрестность точки z0 . Множество, состоя- щее только из внутренних точек называется открытым множеством.

Определение 4. Точка z1 называется граничной точкой множества G, если в любой ее

окрестности есть точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие G. Совокупность всех граничных точек называется границей множества.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Определение 5. Открытое множество G называется областью, если оно связно, т.е. любые две точки z1, z2 ÎG можно соединить ломаной Γ G . Пример множества, которое

не является областью

E = { z | z +1|<1, | z -1|<1} .

Множество состоящие из области G и ее границы называется замкнутой областью и обо- значается G = G + G .

Определение 6. Множество G называется ограниченным если существует круг U0R = {z || z |< R} , такой, что G Ì U0R .

Определение 7. Область называется односвязной, если любой замкнутый контур γ целиком лежащий в G ограничивает область Gγ Ì G . В противном случае область называ-

ется многосвязной (с «дырками»). Многосвязную область можно превратить в односвяз- ную с помощью разрезов. Разрезом какой-либо области по данной кривой называют уда- ление из области точек этой кривой. При изучении свойств функции комплексной переменной важное значение имеют не только области но и кривые, ограничивающие эти области. Остановимся на некоторых понятиях, связанных с кривыми. Начнем с общего понятия непрерывной кривой. Пусть x(t), y(t) – непрерывные на отрезке [a, b] функции па-

раметра t и z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b .

Говорят, что комплекснозначная функция z (t) действительной переменной t является параметрическим уравнением кривой. При этом, если z1 = z(t1), z2 = z(t2 ) , где a £ t1 < t2 £ b ,

то говорят, что точка z2 следует за точкой z1 . Таким образом кривая z (t) является упоря-

доченным множеством точек комплексной плоскости. Кривая всегда считается ориенти- рованной в направлении возрастания параметра t. Направление движения точки z вдоль кривой, соответствующее возрастанию параметра t, называется положительным. Движе- ния по кривой соответствующее убыванию параметра t называется отрицательным. Кри- вая, начальная и конечная точки которой совпадают, называется замкнутой. Если одна и та же точка кривой соответствует двум и более различным значениям параметра, из кото- рых, по крайней мере, одно отлично от a и b, то такая точка называется кратной (точка са- мопересечения). Кривая не имеющая кратных точек называется простой или жордановой кривой.

Примеры кривых.

а) Уравнение z = it (−1 ≤ t ≤ 1) определяет кривую, изображенную отрезком мнимой оси −1 ≤ y ≤ 1. Для направления, соответствующего возрастанию параметра t, начальной точ- кой будет z1 = -i , конечной z2 = i . Кривая не замкнута, не имеет кратных точек, является простой.

б) z = cost, − π ≤ t ≤ π . Кривая является отрезком действительной оси [–1, 1], проходи-

мым дважды: сначала от точки z = 1, к точке z = –1. Это пример замкнутой кривой, у кото- рой каждая точка интервала (–1; 1) является кратной. Кривая не является простой. Для жордановых кривых справедлива теорема Жордана.

Теорема Жордана.

Каждая замкнутая жорданова кривая Г делит всю плоскость на две различные области G1 и G2 общей границей которых она является При этом одна из областей ограничена

(она называется внутренностью Г), а другая не ограничена (она называется внешно- стью Г).

Определение. Замкнутая кривая без точек самопересечения называется контуром.

бить на конечное число гладких кривых. В каждой точке гладкой кривой существует каса-

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

тельный вектор z′(t) к кривой. В некоторых точках кусочно-гладкой кривой существуют

несовпадающие предельные положения касательной слева и справа. В дальнейшем будут рассматриваться только кусочно-гладкие кривые.

2.2. Функция комплексной переменной

Определение. Говорят, что на множестве G точек плоскости

задана функция w=f (z) если указан закон, по которому каждой точке z G ставится в со- ответствие одно или совокупность комплексных чисел w. Множество G называется мно- жеством определения функции, множество всех значений w называется множеством из- менения функции и обозначается E. Если каждому значению z G , соответствует единственное значение w E , то f (z) называется однозначной, в противном случае мно-

гозначной. Если положить z=x+i y и w=u+i v, то задание функции комплексного перемен- ного w=f (z) будет равносильно заданию двух функций двух действительных переменных

График функции комплексной переменной изобразился бы некоторой поверхностью в пространстве четырех действительных переменных x, y, u, v, что нельзя представить на- глядно. Для наглядного представления условимся откладывать значения z на одной ком- плексной плоскости, а значение w на другой. Тогда функцию комплексной переменной можно геометрически представить как некоторое отображение множества G плоскости на множество E плоскости w (рис.2.3).

Если w=f (z) однозначна на множестве G и при этом f (z1) ¹ f (z2 ) , где z1 ¹ z2 , то такое ото-

бражение называется взаимно-однозначным или однолистным. Точка wÎ E , часто назы- вается образом точки z на плоскости w, а саму точку z называют прообразом. Если ото-

(значений w ), обратная к w = z2 функция z = w будет двузначной. Предел функции. Пусть функция определена в окрестности точки z0 .

Определение. Число A называется пределом функции f (z) , при z ® z0 , если для лю-

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Если

lim | f (z) |= ¥ ,

z→z0

то

A = ∞ .

Основные свойства предельных переходов для действительных функций сохраняются для функций комплексного переменного. Функция f (z) называется непрерывной в точке z0 ,

рывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области. Отметим без до- казательства, что для функций непрерывных на замкнутых ограниченных множествах (в замкнутых ограниченных областях, на замкнутых линиях или отрезках линий, содержа- щих свои концы), остаются справедливыми обычные свойства функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах. Именно функция f (z):

1)ограничена на G , т.е. | f (z) |≤ M ;

2)достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. в G существуют z1, z2 , такие, что

| f (z1) |³| f (z) |, | f (z2 ) |£ f (z), z ÎG ;

3) равномерно непрерывна, т.е. для ε>0, δ(ε) , что для всех | z1 - z2 |< δ , справедливо

неравенство | f (z1) - f (z2 ) |< ε .

Если w =f (z) непрерывна в области G и осуществляет взаимно однозначное отображе- ние этой области на некоторое множество G1 в плоскости w, то G1 также является обла-

стью, ее обратная функция z = ϕ(w) непрерывна в G1 .

2.3. Производная функции w =f (z) и дифференциал

Функция, имеющая производную в точке z0 называется дифференцируемой. Если обозна-

чить через z приращение аргумента, а через w приращение функции, то условие диф- ференцируемости f (x) в точке z0 запишется в виде:

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

где ε(z0,Dz) ® 0 при z → 0 , A не зависит от z .

Очевидно, что A = f ′(z0 ) . Из (2.4) следует, что функция дифференцируемая в точке z0 яв- ляется непрерывной в этой точке. Выражение dw = f ′(z0 ) × dz называется дифференциалом

функции Из определения производной следует, что основные правила дифференцирования

распространяются на функции комплексного переменного:

В последней формуле f, ϕ взаимно обратные функции.

Функция f(z) называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каж- дой точке этой области.

2.4. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции w=f (z). (Условия Коши-Римана)

Теорема. Для того, чтобы функция f(z)=u(x, y)+i v(x, y), определенная в окрестности точки z0 = x0 + iy0 была дифференцируема в точке z0 , необходимо и достаточно, чтобы в

окрестности существовали непрерывные частные производные ¶¶ux , ¶¶uy , ¶¶vx , ¶¶yv и выполня-

лись условия Коши-Римана:

Доказательство необходимости. Пусть w=f (z) дифференцируема в точке z0 , т.е. существу-

Сравнивая эти два равенства получим

¶¶ux = ¶¶yv , ¶¶uy = - ¶¶vx .

Докажем достаточность условий теоремы. Пусть они выполнены. Тогда

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Du = ¶¶ux Dx + ¶¶uy Dy + α1Dx + α2Dy ,

Dv = ¶¶vx Dx + ¶¶yv Dy + β1Dx + β2Dy ,

где α1,α2 ,β1,β2 стремятся к нулю при Dx и y , стремящихся к нулю. Кроме того,

¶¶ux = ¶¶yv = a, - ¶¶uy = - ¶¶xv = b ,

следовательно

некоторой ее окрестности. Такими условиями являются условия Коши-Римана, т.е. вы- полнение условий Коши-Римана в некоторой области является условиями аналитичности функции. Существуют функции дифференцируемые только в одной точке и не являющи- мися аналитическими. Например w =| z | ×z, w′(0) = 0 , но условия Коши-Римана не выполне-

ны ни в одной точке z ¹ 0 .

Задача. Найти область аналитичности функции w = z2 .

Решение.

w = z2 - (x + iy)2 = x2 - y2 + 2xyi, u(x, y) = x2 - y2 , + v(x, y) = 2xy, ¶¶ux = 2x, ¶¶yv = 2x, ¶¶uy = -2y, ¶¶vx = 2y .

Условие Коши-Римана выполнено, для любой точки плоскости, т.е. w = z2 аналитическая функция, и (z2 )¢ = ¶¶ux + i ¶¶vx = 2x + 2iy = 2z .

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com