1)если точка лежит в I или IV четверти (x > 0), arg z = arctg xy (рис.1.4a)
2)Если z лежит во второй четверти
(x < 0, y ³ 0) , то - p |
< arctg y |
£ 0 и arg z = p + arctg |
y |
(рис.1.4б) |
|
|
|
||
2 |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
z |
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg x |
||
0 |
arctg x |
x |
x |
|
|
0 |
|
|
x |
z |
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
б |
arctg x |
|
|
|
|
|||
а |
|
в |
|
|
|
||||
|
Рис.1.4. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) если z находится в III четверти (x <0, y <0), то |
0 < arctg |
y |
< p |
и arg z = -p + arctg y |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
(рис.1.4в).
Задача. Найти модули и главные значения аргументов следующих чисел –2+2i ; –1; 3+4i и записать тригонометрическую форму этих чисел.
Решение. Воспользуемся формулой (1.6). В первом случае x= –2, y =2, точка z=–2+2i
лежит во второй четверти |
æ |
- |
2 |
ö |
= p + arctg(-1) = p - |
p |
= |
3p |
. Найдем мо- |
arg(-2 + 2i) = p + arctgç |
2 |
÷ |
4 |
4 |
|||||
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
3p |
|
3p ö |
|
||
дуль этого числа | -2 + 2i |= |
4 + 4 = 2 2 , поэтому -2 + 2i = 2 2 |
+ i sin |
. Во втором |
|||||||||
çcos |
4 |
4 |
÷ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|||
случае x= –1, y=0, arctg xy = 0, arg(-1) = p , поэтому -1 = (cosp + isin p) . В третьем случае x=3, y=4 по (1) имеем
a = arg z = arctg 43 ,
так как
| 3 + 4i |= 
25 = 5 ,
то тригонометрическая форма числа 3+4i записывается в виде
3 + 4i = 5(cosα + isin α).
1.4. Показательная форма комплексного числа
Для записи показательной формы комплексного числа используется формула Эйлера
|
|
|
|
eiϕ = cosj + i sinj . |
|
|
(1.7) |
||
Для любого действительного ϕ , |
|
eiϕ |
|
= 1. Заменяя ϕ на (-j) из (1.7) получим |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
e−iϕ = cosj - isinj . |
|
|
(1.8) |
||
Из (1.7) и (1.8) сложением и вычитанием получим формулы Эйлера |
|
||||||||
cosj = |
|
eiϕ + e−iϕ |
, sinj = |
eiϕ |
- e−iϕ |
. |
(1.9) |
||
2 |
|
2i |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Функция eiϕ обладает свойствами показательной функции. Основные из них:
eiϕ1 ×eiϕ2 = ei(ϕ1+ϕ2 ) ,
eiϕ1 = ei(ϕ1−ϕ2 ) ,
eiϕ2
(eiϕ )n = einϕ .
Из (1.12) и (1.7) следует формула Муавра
(cosj + i sinj)n = cosnj + i sin nj .
Из (1.12) и (1.7) следует запись для комплексного числа
z = reiϕ .
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
Запись числа в виде (1.14) называется показательной формой комплексного числа. В пока- зательной форме удобно проводить операции умножения и деления комплексных чисел.
Замечание. С помощью формулы Муавра можно получить различные тригонометри- ческие равенства. Получим формулы для cos3ϕ,sin 3ϕ . Для этого запишем равенство
(cosj + i sinj)3 = cos3j + i sin 3j . Преобразуем левую часть равенства cos3 j + 3i cos2 jsinj - 3cosjsin2 j - i sin3 j = cos3j + i sin3j .
Из условия равенства комплексных чисел находим cos3j = cos3 j - 3cosjsin2 j ,
sin3j = 3cos2 j×sin j - sin3 j . После преобразований, учитывая, что cos2 j + sin2 j = 1, полу-
чим искомые равенства cos3j = 4cos3 j - 3cosj , sin3j = 3sin j - 4sin3 j . |
|
|
|
|||||||
1.5. Извлечение корня |
|
|
n |
|
|
|||||
Пусть n – натуральное число, а z – заданное комплексное число. Определим |
|
= w |
||||||||
z |
||||||||||
так, что wn = z . Имеем | w |n einψ =| z | ei(arg z+2kπ) . |
Из условия равенства комплексных чисел |
|||||||||
следует |
|
|
|
|
|
|||||
wn =| z |, ny = arg z + 2kp, k = 0,±1,±2; |
|
|
|
|
|
|||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|||||
| w |= n |
| z |, y = arg z + 2kp k = 0,±1,±2,K. |
|
|
|
||||||
Окончательно получим |
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
iarg z+2kπ |
k = 0,±1,±2,K . |
(1.15) |
|||
z |
= n |
| z | |
e |
n |
||||||
Выясним сколько существует различных значений корня n
z . Подставляя в формулу (1.15)
k=0,1,2,…,n –1, получим ровно n различных значений n
z . Эти значения различны, так как разность аргументов каждых двух из них не кратна 2π . Поэтому зная один корень
w0(k = 0) , все другие можно получить последовательными поворотами на угол 2np против часовой стрелки.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Пример. Найти все значения корня 3
-27 .
Решение. Обозначим z = –27, тогда |z|=27, arg z = arg(−27) = π , имеем
w = 3 |
|
|
|
æ p + 2kp + i sin p + 2kp ö |
, k = 0,1,2 . |
||||||||||||||||
|
27 |
|
|||||||||||||||||||
k |
|
|
|
ç |
|
3 |
|
|
3 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем значения wk : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æcos p |
+ isin p ö |
= 3æ |
1 + i |
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|||||||
k = 0, w |
|
= 3 |
3 |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||||
0 |
|
|
|
ç |
3 |
÷ |
|
ç |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
è |
3 ø |
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|||||||
k = 1, w1 = 3(cos p + i sin p) = -3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
æcos 5p |
+ i sin 5p ö |
= 3æ |
1 |
|
|
|
|
|
ö . |
||||||||||
k = 2, w |
= 3 |
- i |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
ç |
|
3 |
3 |
÷ |
|
ç |
2 |
|
|
2 |
|
|
÷ |
||||
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
è |
|
|
|
|
ø |
||||||||
Изобразим эти числа на комплексной плоскости (рис.1.5) Точки w0,w1,w2 – вершины правильного треугольника.
|
|
y |
z |
|
|
w0 |
|
w1 |
2p 3 |
p 3 |
|
|
|
||
|
0 |
3 x |
|
w1 |
2p 3 |
||
|
|
|
w2
Рис1.5.
Задачи для самостоятельного решения
1.1. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:
а) z =1–i, б) z= -2 + 2
3i , в) z= –3i, г) z= – 4– 3i.
1.2. Заданные комплексные числа представить в тригонометрической и экспоненциаль- ной формах:
а) z = – 4, |
|
|
|
|
б) z = 2i, |
|
в) z = –2i, |
г) z = - |
2 |
+ i |
2 |
, |
|||||||||||||
д) z =5+3i, |
|
|
|
|
|
|
|
е) z = –2–3i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.3. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
г) ( |
|
- 3i)6 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) (1- i)7 ; |
б) çæ1- i ÷ö |
; в) (-4 + 3i)3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
è1+ i ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д) (1+ i)8 (1- i |
|
)−6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1.4. Найти все значения корня: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) 4 |
|
; |
б) 3 |
|
; в) 4 |
|
; |
|
г) 3 |
|
; д) 3 |
|
; |
е) 3 |
|
. |
|||||||||
-1 |
i |
-i |
|
8 |
-1+ i |
2 - 3i |
|||||||||||||||||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
1.5. Найти и изобразить множества точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:
а) | z |≤ 2 ; |
б) | z − 2i |≤ 4 ; |
в) |
Im |
|
z |
= 0 ; г) π < arg z ≤ π |
; |
||
1 |
+ i |
||||||||
|
|
|
|
6 |
3 |
|
|||
д) | z −1− i |< 1, | arg z |≤ π ; |
|
|
|
е) |
| z |≤ 1, arg(z + i) > |
π ; |
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
ж) | z |> 1, -1 < Im z £ 1,0 < Re z £ 2 ; |
з) |
z × z < 2, Re z £ 1, Im z > -1 ; |
|
||||||
и) | z - 2 - i |³ 1,1 £ Re z < 3, 0 < Im z £ 3.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com